Вопросы?, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какое утверждение называют высказыванием?

2. Перечислите основные операции над высказываниями.

3. Какие высказывания называют логически эквивалентными?

4. Какие логические выражения называют тавтологиями?

1. Какое утверждение называют высказыванием?
Высказыванием (или суждением) в логике называют повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Истинность или ложность является его логическим значением. Например, предложение "Земля — планета Солнечной системы" является истинным высказыванием, а предложение "5 > 10" — ложным высказыванием. Вопросительные ("Который час?") и побудительные ("Закрой дверь!") предложения высказываниями не являются, так как им нельзя присвоить значение истинности или ложности.
Ответ: Высказывание — это утверждение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

2. Перечислите основные операции над высказываниями.
Основными логическими операциями, которые позволяют строить сложные высказывания из простых, являются:
Отрицание (инверсия): логическая операция "НЕ". Обозначается как $\neg A$ или $\overline{A}$. Результат этой операции истинен, если исходное высказывание $A$ ложно, и наоборот.
Конъюнкция (логическое умножение): логическая операция "И". Обозначается как $A \land B$. Результат истинен тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ($A$ и $B$) истинны.
Дизъюнкция (логическое сложение): логическая операция "ИЛИ". Обозначается как $A \lor B$. Результат ложен тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ($A$ и $B$) ложны.
Импликация (следование): логическая операция "ЕСЛИ... ТО...". Обозначается как $A \rightarrow B$. Результат ложен только в одном случае: когда посылка ($A$) истинна, а следствие ($B$) ложно.
Эквиваленция (равнозначность): логическая операция "ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА". Обозначается как $A \leftrightarrow B$ или $A \equiv B$. Результат истинен, когда логические значения высказываний $A$ и $B$ совпадают (оба истинны или оба ложны).
Ответ: Основные операции над высказываниями: отрицание (НЕ), конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), импликация (ЕСЛИ...ТО...) и эквиваленция (ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА).

3. Какие высказывания называют логически эквивалентными?
Два сложных высказывания называют логически эквивалентными (или равносильными), если они принимают одинаковые логические значения (истина или ложь) при всех возможных наборах логических значений входящих в них простых высказываний. Это означает, что их таблицы истинности полностью совпадают. Например, выражение импликации $A \rightarrow B$ логически эквивалентно выражению $\neg A \lor B$. Их равносильность можно записать так: $(A \rightarrow B) \equiv (\neg A \lor B)$.
Ответ: Логически эквивалентными называют высказывания, которые имеют одинаковые таблицы истинности.

4. Какие логические выражения называют тавтологиями?
Тавтологией (или тождественно-истинным выражением) называют такое сложное логическое выражение, которое истинно при любых значениях входящих в него простых высказываний. В таблице истинности для тавтологии столбец с итоговым результатом будет содержать только значения "истина". Классическим примером тавтологии является закон исключённого третьего: $A \lor \neg A$. Независимо от того, истинно или ложно высказывание $A$, результат всего выражения всегда будет истинным.
Ответ: Тавтологии — это логические выражения, которые всегда истинны, независимо от истинности составляющих их высказываний.