Номер 2.13, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.13. Покажите, что множества точек любых двух концентричных окружностей равномощны.

Для доказательства того, что два множества равномощны, необходимо установить между ними биективное соответствие (биекцию) — такое отображение, при котором каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, и наоборот.

Рассмотрим две произвольные концентрические окружности, $C_1$ и $C_2$, с общим центром в точке $O$. Пусть их радиусы равны $r_1$ и $r_2$ соответственно ($r_1 > 0$, $r_2 > 0$, и для определённости предположим $r_1 \neq r_2$).

Построим отображение $f$ из множества точек окружности $C_1$ в множество точек окружности $C_2$ следующим образом. Для каждой точки $A$ на окружности $C_1$ проведём луч, выходящий из центра $O$ и проходящий через точку $A$. Этот луч пересечёт окружность $C_2$ в единственной точке, которую мы назовём $B$. Поставим в соответствие точке $A$ точку $B$, то есть $f(A) = B$.

Докажем, что это отображение является биекцией.

1. Инъективность (взаимная однозначность).
Предположим, у нас есть две различные точки $A_1$ и $A_2$ на окружности $C_1$. Лучи $OA_1$ и $OA_2$ будут различными, так как они проходят через разные точки ($A_1$ и $A_2$) и выходят из одного центра $O$. Поскольку эти лучи различны, они пересекут окружность $C_2$ также в различных точках $B_1$ и $B_2$. Таким образом, разным точкам на $C_1$ соответствуют разные точки на $C_2$, и отображение является инъективным.

2. Сюръективность (отображение «на»).
Возьмём произвольную точку $B$ на окружности $C_2$. Проведём луч из центра $O$ через точку $B$. Этот луч обязательно пересечёт окружность $C_1$ в некоторой единственной точке $A$. Для этой точки $A$ будет выполняться равенство $f(A) = B$. Это означает, что для любой точки на окружности $C_2$ найдётся соответствующая ей точка на окружности $C_1$. Следовательно, отображение является сюръективным.

Поскольку построенное отображение $f: C_1 \to C_2$ является одновременно инъективным и сюръективным, оно является биекцией. Существование биекции между множествами точек двух окружностей означает, что эти множества равномощны.

Аналитически, если поместить центр окружностей в начало координат $(0, 0)$, то любая точка $A$ на окружности $C_1$ имеет координаты $(x, y)$, удовлетворяющие уравнению $x^2 + y^2 = r_1^2$. Наше отображение ставит ей в соответствие точку $B(x', y')$ на окружности $C_2$, лежащую на том же луче. Это означает, что координаты точки $B$ пропорциональны координатам точки $A$ с коэффициентом $\frac{r_2}{r_1}$. Таким образом, отображение можно задать формулой:$f(x, y) = (\frac{r_2}{r_1}x, \frac{r_2}{r_1}y)$. Это отображение является биекцией, что и доказывает равномощность множеств.

Ответ: Множества точек любых двух концентрических окружностей равномощны, так как между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие (биекцию) путем проецирования точек одной окружности на другую вдоль лучей, исходящих из их общего центра.