Номер 3.11, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

3.11. Электрическая цепь между точками $M$ и $N$ составлена по схеме, изображённой на рисунке 3.1. Рассмотрим высказывания:

$A = \{\text{элемент } m \text{ цепи функционирует нормально}\};$

$B = \{\text{элемент } n \text{ цепи функционирует нормально}\}.$

Определите, является ли цепь замкнутой, если известно значение функции истинности $f$:

1) $f(A \wedge B) = 1;$

2) $f(A \wedge B) = 0;$

3) $f(A \vee B) = 0;$

4) $f(\bar{A} \wedge B) = 1;$

5) $f(\bar{A} \vee B) = 0.$

Рис. 3.1

На схеме (рис. 3.1) элементы $m$ и $n$ соединены параллельно. Электрическая цепь между точками $M$ и $N$ будет замкнутой, если хотя бы один из элементов ($m$ или $n$) функционирует нормально.

Пусть $A$ — высказывание «элемент $m$ функционирует нормально», а $B$ — высказывание «элемент $n$ функционирует нормально». Тогда состояние всей цепи можно описать с помощью логической функции — дизъюнкции (логического «ИЛИ»): $C = A \vee B$.

Цепь замкнута, если высказывание $C$ истинно, то есть $f(A \vee B) = 1$.

Цепь не замкнута (разомкнута), если высказывание $C$ ложно, то есть $f(A \vee B) = 0$.

Проанализируем каждый из предложенных случаев.

1) $f(A \wedge B) = 1$

Условие $f(A \wedge B) = 1$ означает, что конъюнкция (логическое «И») высказываний $A$ и $B$ истинна. Это возможно только в том случае, когда оба высказывания истинны, то есть $f(A) = 1$ и $f(B) = 1$. Это означает, что оба элемента, $m$ и $n$, функционируют нормально.

Проверим состояние цепи: $f(A \vee B) = 1 \vee 1 = 1$.

Поскольку результат равен 1, цепь является замкнутой.

Ответ: цепь замкнута.

2) $f(A \wedge B) = 0$

Условие $f(A \wedge B) = 0$ означает, что конъюнкция высказываний $A$ и $B$ ложна. Это происходит, если хотя бы одно из высказываний ложно. Возможны три комбинации значений истинности для $(A, B)$:

• $f(A)=1, f(B)=0$. Тогда $f(A \vee B) = 1 \vee 0 = 1$ (цепь замкнута).
• $f(A)=0, f(B)=1$. Тогда $f(A \vee B) = 0 \vee 1 = 1$ (цепь замкнута).
• $f(A)=0, f(B)=0$. Тогда $f(A \vee B) = 0 \vee 0 = 0$ (цепь не замкнута).

Так как из данного условия невозможно однозначно определить состояние цепи (она может быть как замкнутой, так и разомкнутой), дать определенный ответ нельзя.

Ответ: определить невозможно.

3) $f(A \vee B) = 0$

Это условие напрямую задает значение истинности для функции, описывающей состояние всей цепи. $f(A \vee B) = 0$ означает, что дизъюнкция высказываний $A$ и $B$ ложна. Это возможно только в том случае, когда оба высказывания ложны: $f(A) = 0$ и $f(B) = 0$.

Ни один из элементов не функционирует, следовательно, цепь не является замкнутой.

Ответ: цепь не замкнута.

4) $f(\bar{A} \wedge B) = 1$

Условие $f(\bar{A} \wedge B) = 1$ означает, что конъюнкция высказываний $\bar{A}$ (отрицание $A$) и $B$ истинна. Это возможно, только если оба высказывания истинны: $f(\bar{A}) = 1$ и $f(B) = 1$.

Из $f(\bar{A}) = 1$ следует, что $f(A) = 0$ (элемент $m$ не функционирует).

Из $f(B) = 1$ следует, что элемент $n$ функционирует.

Проверим состояние цепи: $f(A \vee B) = 0 \vee 1 = 1$.

Поскольку результат равен 1, цепь является замкнутой.

Ответ: цепь замкнута.

5) $f(\bar{A} \vee B) = 0$

Условие $f(\bar{A} \vee B) = 0$ означает, что дизъюнкция высказываний $\bar{A}$ и $B$ ложна. Это возможно, только если оба высказывания ложны: $f(\bar{A}) = 0$ и $f(B) = 0$.

Из $f(\bar{A}) = 0$ следует, что $f(A) = 1$ (элемент $m$ функционирует).

Из $f(B) = 0$ следует, что элемент $n$ не функционирует.

Проверим состояние цепи: $f(A \vee B) = 1 \vee 0 = 1$.

Поскольку результат равен 1, цепь является замкнутой.

Ответ: цепь замкнута.