Номер 4.1, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.1. Среди данных утверждений укажите предикаты:

1) число $(n+1)^2 - 1$ — составное, $n \in N$;

2) для любого $x \in R$ выполняется равенство $x^2+x+1=0$;

3) модуль действительного числа $x$ больше нуля;

4) неверно, что $n : 5$, $n \in N$;

5) существует такое целое число $x$, что число 1 является его делителем.

Предикат — это утверждение, содержащее одну или несколько переменных, которое становится высказыванием (истинным или ложным) только после подстановки вместо переменных конкретных значений из их области определения. Проанализируем каждое из данных утверждений.

1) число $(n + 1)^2 - 1$ — составное, $n \in N$

Данное утверждение содержит переменную $n$, принадлежащую множеству натуральных чисел $N$. Его истинность зависит от конкретного значения $n$.

Преобразуем выражение: $(n + 1)^2 - 1 = (n^2 + 2n + 1) - 1 = n^2 + 2n = n(n+2)$.

• Если $n=1$, то получаем число $1 \cdot (1+2) = 3$. Число 3 является простым, а не составным, поэтому для $n=1$ утверждение ложно.
• Если $n=2$, то получаем число $2 \cdot (2+2) = 8$. Число 8 является составным, поэтому для $n=2$ утверждение истинно.
• Если $n=3$, то получаем число $3 \cdot (3+2) = 15$. Число 15 является составным, поэтому для $n=3$ утверждение истинно.

Поскольку истинность утверждения меняется в зависимости от значения переменной $n$, оно является предикатом.

Ответ: является предикатом.

2) для любого $x \in R$ выполняется равенство $x^2 + x + 1 = 0$

Это утверждение является высказыванием, а не предикатом. Оно содержит переменную $x$, но она связана квантором всеобщности («для любого»). Такое утверждение имеет определенное значение истинности (истина или ложь) и не зависит от выбора конкретного значения $x$.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, утверждение о том, что равенство выполняется для любого действительного $x$, является ложным высказыванием.

Ответ: не является предикатом.

3) модуль действительного числа $x$ больше нуля

Это утверждение, которое можно записать в виде $|x| > 0$, содержит переменную $x$. Его истинность зависит от значения этой переменной.

• Если $x=5$, то $|5| > 0$, что является истиной.
• Если $x=-2$, то $|-2| > 0$, что является истиной.
• Если $x=0$, то $|0| > 0$, что является ложью.

Поскольку истинность утверждения зависит от значения переменной $x$, оно является предикатом.

Ответ: является предикатом.

4) неверно, что $n \vdots 5$, $n \in N$

Это утверждение содержит переменную $n$ из множества натуральных чисел $N$. Его истинность зависит от значения $n$.

• Если $n=7$, то утверждение "неверно, что 7 делится на 5" истинно.
• Если $n=10$, то утверждение "неверно, что 10 делится на 5" ложно, так как $10$ на самом деле делится на $5$.

Поскольку истинность утверждения зависит от значения переменной $n$, оно является предикатом.

Ответ: является предикатом.

5) существует такое целое число $x$, что число 1 является его делителем

Это утверждение является высказыванием. Переменная $x$ в нем связана квантором существования («существует»). Такое утверждение имеет определенное значение истинности.

Число 1 является делителем любого целого числа, так как для любого $x \in Z$ справедливо равенство $x = x \cdot 1$. Следовательно, такое целое число $x$ существует (на самом деле, это верно для любого целого числа). Утверждение является истинным высказыванием.

Ответ: не является предикатом.