Вопросы?, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как называют утверждения, зависящие от переменных?

2. Перечислите основные операции над предикатами.

3. Какие словосочетания заменяют кванторы общности и существования?

4. Перечислите виды теорем.

1. Как называют утверждения, зависящие от переменных?
Утверждения, истинность или ложность которых зависит от значений одной или нескольких переменных, называются предикатами или высказывательными формами. Переменные, входящие в предикат, принадлежат некоторой предметной области (области определения предиката).

Предикат, зависящий от одной переменной $x$, обозначается как $P(x)$, от двух переменных $x$ и $y$ — как $P(x, y)$, и так далее.

Пример:
Рассмотрим предикат $P(x): "x - простое число"$, где переменная $x$ принадлежит множеству натуральных чисел $N$.

• Если $x = 7$, то утверждение "7 - простое число" истинно.
• Если $x = 10$, то утверждение "10 - простое число" ложно.

Таким образом, сам по себе предикат не является истинным или ложным высказыванием, но становится им при подстановке конкретных значений переменных из их области определения.

Ответ: Утверждения, зависящие от переменных, называют предикатами или высказывательными формами.

2. Перечислите основные операции над предикатами.
Над предикатами можно выполнять логические операции, аналогичные операциям над высказываниями. В результате этих операций получаются новые, более сложные предикаты. Кроме того, существуют специфические операции с использованием кванторов, которые превращают предикат в высказывание.

Основные операции:

• Отрицание (инверсия) — операция, которая предикату $P(x)$ ставит в соответствие предикат $\neg P(x)$ (или $\overline{P(x)}$), истинный тогда и только тогда, когда $P(x)$ ложен.
• Конъюнкция (логическое "И") — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \wedge Q(x)$, истинный тогда и только тогда, когда оба предиката, $P(x)$ и $Q(x)$, истинны.
• Дизъюнкция (логическое "ИЛИ") — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \vee Q(x)$, истинный тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов $P(x)$ или $Q(x)$.
• Импликация (следование) — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \to Q(x)$, который ложен только в одном случае: когда $P(x)$ истинен, а $Q(x)$ ложен.
• Эквивалентность (равносильность) — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \leftrightarrow Q(x)$, истинный тогда и только тогда, когда $P(x)$ и $Q(x)$ принимают одинаковые значения истинности.
• Навешивание квантора общности ($\forall$) — операция, которая по предикату $P(x)$ строит высказывание $\forall x P(x)$ ("для любого $x$, $P(x)$ истинно"). Это высказывание истинно, если предикат $P(x)$ истинен для всех значений $x$ из заданной предметной области.
• Навешивание квантора существования ($\exists$) — операция, которая по предикату $P(x)$ строит высказывание $\exists x P(x)$ ("существует такой $x$, что $P(x)$ истинно"). Это высказывание истинно, если существует хотя бы одно значение $x$ из предметной области, для которого $P(x)$ истинно.

Ответ: Основные операции над предикатами — это отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, а также операции навешивания квантора общности и квантора существования.

3. Какие словосочетания заменяют кванторы общности и существования?
В естественном языке для выражения идей, формализуемых с помощью кванторов, используются различные слова и словосочетания.

Квантор общности ($\forall$):
Этот квантор означает "для всех", "для каждого". В речи его заменяют такие словосочетания, как:

• для любого...
• для каждого...
• для всех...
• всякий...
• каждый...
• все...

Пример: Высказывание "$\forall n \in N: n+1 > n$" читается как "Для любого натурального числа $n$ верно, что $n+1$ больше $n$".

Квантор существования ($\exists$):
Этот квантор означает "существует", "найдется". В речи его заменяют такие словосочетания, как:

• существует (хотя бы один)...
• найдется...
• некоторый...
• хотя бы один...
• можно найти такой...

Пример: Высказывание "$\exists x \in R: x^2 = 2$" читается как "Существует такое действительное число $x$, что его квадрат равен 2".

Ответ: Квантор общности ($\forall$) заменяют словосочетания "для любого", "каждый", "всякий", "для всех". Квантор существования ($\exists$) заменяют словосочетания "существует", "найдется", "некоторый", "хотя бы один".

4. Перечислите виды теорем.
Любую теорему можно представить в виде импликации "Если $A$, то $B$", где $A$ — условие (посылка), а $B$ — заключение. В символической форме это записывается как $A \to B$. В зависимости от того, как изменяются условие и заключение исходной теоремы, выделяют следующие связанные с ней виды теорем:

• Прямая теорема — это исходная теорема.
  Формула: $A \to B$ ("Если $A$, то $B$").
  Пример: Если четырехугольник является квадратом, то в него можно вписать окружность.
• Обратная теорема — получается из прямой заменой местами условия и заключения.
  Формула: $B \to A$ ("Если $B$, то $A$").
  Пример: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то он является квадратом (это утверждение ложно, что показывает: истинность прямой теоремы не гарантирует истинность обратной).
• Противоположная теорема — получается из прямой заменой условия и заключения на их отрицания.
  Формула: $\neg A \to \neg B$ ("Если не $A$, то не $B$").
  Пример: Если четырехугольник не является квадратом, то в него нельзя вписать окружность (также ложное утверждение).
• Теорема, противоположная обратной (контрапозитивная) — получается из обратной теоремы заменой условия и заключения на их отрицания (или из прямой теоремы заменой их на отрицания и перестановкой).
  Формула: $\neg B \to \neg A$ ("Если не $B$, то не $A$").
  Пример: Если в четырехугольник нельзя вписать окружность, то он не является квадратом (это утверждение истинно).

Важно отметить, что прямая теорема ($A \to B$) всегда логически эквивалентна теореме, противоположной обратной ($\neg B \to \neg A$).

Ответ: Виды теорем: прямая, обратная, противоположная и противоположная обратной (контрапозитивная).