Номер 2.4, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

2.4. Установите взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 3.

Для установления взаимно однозначного соответствия (биекции) между двумя множествами необходимо определить правило или функцию, которая каждому элементу одного множества сопоставляет ровно один элемент другого множества, причем каждый элемент второго множества должен быть сопоставлен какому-либо элементу первого.

Пусть $N = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$ — множество всех натуральных чисел.

Пусть $M$ — множество натуральных чисел, кратных 3. Это множество можно записать как $M = \{3, 6, 9, 12, \dots\}$.

Наша задача — найти функцию $f: N \to M$, которая является биективной.

Рассмотрим простейшее правило: поставим в соответствие первому элементу множества $N$ (числу 1) первый элемент множества $M$ (число 3), второму элементу $N$ (числу 2) — второй элемент $M$ (число 6), и так далее.

• $1 \mapsto 3$
• $2 \mapsto 6$
• $3 \mapsto 9$
• $4 \mapsto 12$
• $\dots$
• $n \mapsto 3n$

Это соответствие можно задать формулой $f(n) = 3n$, где $n \in N$.

Докажем, что эта функция $f(n) = 3n$ устанавливает взаимно однозначное соответствие. для этого нужно проверить два свойства: инъективность и сюръективность.

1. Инъективность. Функция инъективна, если разным элементам из $N$ соответствуют разные элементы из $M$.
Пусть $n_1$ и $n_2$ — два разных натуральных числа, то есть $n_1 \neq n_2$. Тогда их образы $f(n_1) = 3n_1$ и $f(n_2) = 3n_2$ также будут различны, так как из $n_1 \neq n_2$ следует $3n_1 \neq 3n_2$. Следовательно, функция инъективна.

2. Сюръективность. Функция сюръективна, если для любого элемента из $M$ найдется соответствующий ему элемент в $N$.
Возьмём произвольный элемент $m$ из множества $M$. По определению множества $M$, число $m$ кратно 3. Это значит, что существует натуральное число $k$ такое, что $m = 3k$. Это число $k = m/3$ является натуральным и принадлежит множеству $N$. Таким образом, для любого элемента $m \in M$ мы нашли прообраз $n=k \in N$ такой, что $f(n) = f(k) = 3k = m$. Следовательно, функция сюръективна.

Так как функция $f(n) = 3n$ одновременно инъективна и сюръективна, она является биекцией. Это доказывает, что между множеством натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 3, можно установить взаимно однозначное соответствие.

Ответ: Взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел ($N$) и множеством натуральных чисел, кратных 3 ($M$), устанавливается функцией $f(n) = 3n$, которая каждому натуральному числу $n \in N$ ставит в соответствие число $3n \in M$.