Вопросы?, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как найти количество элементов множества $A \cup B$?

2. Как найти количество элементов множества $A \cup B \cup C$?

3. В каких случаях говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие?

4. Какие множества называют равномощными?

5. Какое множество называют счётным?

1. Как найти количество элементов множества A ∪ B?

Количество элементов в объединении двух конечных множеств A и B, обозначаемое как $|A \cup B|$, находится с помощью принципа включений-исключений. Для этого нужно сложить количество элементов в каждом множестве и вычесть из этой суммы количество элементов, которые принадлежат обоим множествам одновременно (то есть находятся в их пересечении).

Математически это выражается формулой:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Вычитание $|A \cap B|$ необходимо, так как при простом сложении $|A| + |B|$ общие элементы учитываются дважды: один раз как часть множества A и второй раз как часть множества B.

В частном случае, если множества A и B не пересекаются ($A \cap B = \emptyset$), количество элементов в их объединении равно простой сумме их мощностей: $|A \cup B| = |A| + |B|$.

Ответ: Количество элементов множества $A \cup B$ находится по формуле $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.

2. Как найти количество элементов множества A ∪ B ∪ C?

Для нахождения количества элементов в объединении трех конечных множеств используется та же логика принципа включений-исключений, но в более развернутом виде. Алгоритм следующий:

1. Складываются количества элементов во всех трех множествах.

2. Вычитаются количества элементов во всех возможных попарных пересечениях.

3. Прибавляется количество элементов, находящихся в пересечении всех трех множеств.

Формула для трех множеств выглядит так:

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$

Это необходимо для коррекции подсчета: элементы в попарных пересечениях сначала были учтены дважды, а после вычитания — один раз. Элементы, принадлежащие всем трем множествам, сначала были учтены трижды, затем трижды вычтены, поэтому их нужно добавить снова один раз.

Ответ: Количество элементов множества $A \cup B \cup C$ находится по формуле $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$.

3. В каких случаях говорят, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие?

Взаимно однозначное соответствие (или биекция) между двумя множествами A и B установлено, если можно сопоставить элементы этих множеств таким образом, что выполняются два условия:

1. Каждому элементу из множества A соответствует ровно один элемент из множества B.

2. Каждому элементу из множества B соответствует ровно один элемент из множества A.

Проще говоря, элементы можно разбить на пары $(a, b)$, где $a \in A$ и $b \in B$, так, что ни один элемент из обоих множеств не останется без пары и не войдет более чем в одну пару.

Ответ: Взаимно однозначное соответствие установлено, когда каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого, и наоборот.

4. Какие множества называют равномощными?

Два множества называют равномощными (или имеющими одинаковую мощность/кардинальность), если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию).

Это понятие обобщает идею "одинакового количества элементов" на бесконечные множества. Например, множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$ равномощно множеству целых чисел $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$, хотя на первый взгляд кажется, что в $\mathbb{Z}$ элементов больше. Однако между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Ответ: Равномощными называют множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие.

5. Какое множество называют счётным?

Счётным называют бесконечное множество, которое равномощно множеству натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$.

Это означает, что все элементы счётного множества можно пронумеровать, то есть каждому элементу множества поставить в соответствие уникальное натуральное число. Иными словами, элементы такого множества можно выписать в виде бесконечной последовательности $a_1, a_2, a_3, ...$.

Примерами счётных множеств являются множество целых чисел ($\mathbb{Z}$) и множество рациональных чисел ($\mathbb{Q}$).

Ответ: Счётным называют бесконечное множество, которое равномощно множеству натуральных чисел.