Страница 12 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1.13. Найдите пересечение множеств A и B, если:

1) $A = \{x \mid x < 19\}, B = \{x \mid x \in N, x > 11\}$;

2) $A = \{x \mid x = 4n, n \in N\}, B = \{x \mid x = 6n, n \in N\}$;

3) $A = \{(x, y) \mid 2x - y = 1\}, B = \{(x, y) \mid x + y = 5\}$.

1) Пересечением множеств $A = \{x \mid x < 19\}$ и $B = \{x \mid x \in N, x > 11\}$ является множество элементов, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно. Это означает, что мы ищем натуральные числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство $11 < x < 19$. К таким числам относятся: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.
Ответ: $A \cap B = \{12, 13, 14, 15, 16, 17, 18\}$.

2) Множество $A = \{x \mid x = 4n, n \in N\}$ представляет собой множество всех натуральных чисел, кратных 4.
Множество $B = \{x \mid x = 6n, n \in N\}$ представляет собой множество всех натуральных чисел, кратных 6.
Пересечение $A \cap B$ будет содержать числа, которые кратны одновременно и 4, и 6. Такие числа являются кратными их наименьшему общему кратному (НОК). Найдем НОК для 4 и 6:
$4 = 2^2$
$6 = 2 \cdot 3$
$НОК(4, 6) = 2^2 \cdot 3 = 12$.
Следовательно, пересечением является множество всех натуральных чисел, кратных 12.
Ответ: $A \cap B = \{x \mid x = 12k, k \in N\}$.

3) Пересечение множеств $A = \{(x, y) \mid 2x - y = 1\}$ и $B = \{(x, y) \mid x + y = 5\}$ состоит из пар чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Чтобы найти эти пары, необходимо решить систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 1, \\ x + y = 5. \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения. Сложив левые и правые части уравнений, получим:
$(2x - y) + (x + y) = 1 + 5$
$3x = 6$
$x = 2$
Теперь подставим значение $x=2$ во второе уравнение системы:
$2 + y = 5$
$y = 5 - 2$
$y = 3$
Таким образом, решением системы является единственная пара чисел $(2, 3)$.
Ответ: $A \cap B = \{(2, 3)\}$.

1.14. Найдите объединение множеств A и B, если:

1) $A = \{x | x^2 - 1 = 0\}$, $B = \{x | (x - 1)(x - 2) = 0\}$;

2) $A = \{x | 2x + 3 = 0\}$, $B = \{x | x^2 + 3 = 2\}$;

3) $A = \{x | x \in N, x < 5\}$, $B = \{x | x \in N, x < 7\}$.

1)

Сначала найдем элементы каждого множества, решив соответствующие уравнения.

Для множества A: $A = \{x \mid x^2 - 1 = 0\}$.
Решим уравнение $x^2 - 1 = 0$:
$x^2 = 1$
$x_1 = 1$, $x_2 = -1$.
Таким образом, множество A состоит из двух элементов: $A = \{-1, 1\}$.

Для множества B: $B = \{x \mid (x - 1)(x - 2) = 0\}$.
Решим уравнение $(x - 1)(x - 2) = 0$:
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.
$x - 1 = 0$ или $x - 2 = 0$
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Таким образом, множество B состоит из двух элементов: $B = \{1, 2\}$.

Объединение множеств $A$ и $B$, обозначаемое как $A \cup B$, содержит все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. $A \cup B = \{-1, 1\} \cup \{1, 2\} = \{-1, 1, 2\}$.

Ответ: $\{-1, 1, 2\}$.

2)

Найдем элементы множеств A и B.

Для множества A: $A = \{x \mid 2x + 3 = 0\}$.
Решим уравнение $2x + 3 = 0$:
$2x = -3$
$x = -3/2$.
Следовательно, $A = \{-3/2\}$.

Для множества B: $B = \{x \mid x^2 + 3 = 2\}$.
Решим уравнение $x^2 + 3 = 2$:
$x^2 = 2 - 3$
$x^2 = -1$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Значит, множество B является пустым множеством: $B = \emptyset$.

Объединение любого множества с пустым множеством равно этому же множеству. $A \cup B = \{-3/2\} \cup \emptyset = \{-3/2\}$.

Ответ: $\{-3/2\}$.

3)

Определим элементы каждого множества на основе заданных условий.

Для множества A: $A = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x < 5\}$.
Множество A состоит из натуральных чисел, которые меньше 5. В России множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ принято начинать с 1.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$.

Для множества B: $B = \{x \mid x \in \mathbb{N}, x < 7\}$.
Множество B состоит из натуральных чисел, которые меньше 7.
$B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Найдем объединение множеств $A$ и $B$.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Объединение будет содержать все уникальные элементы из обоих множеств.
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Обратите внимание, что $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$), поэтому их объединение равно множеству $B$.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

1.15. Какое из следующих утверждений верно:

1) ${ \{a, b\} \setminus \{a\} = b; }$

2) ${ \{a, b\} \setminus \{a\} = \{a, b\}; }$

3) ${ \{a, b\} \setminus \{a\} = \{a\}; }$

4) ${ \{a, b\} \setminus \{a\} = \{b\} }?$

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо выполнить операцию разности множеств. Разность множеств $A$ и $B$, обозначаемая как $A \backslash B$, — это множество, которое содержит все элементы множества $A$, не входящие во множество $B$.

В данном случае нам нужно вычислить разность $\{a, b\} \backslash \{a\}$. Исходное множество — $\{a, b\}$, а вычитаемое — $\{a\}$. Согласно определению, мы должны удалить из исходного множества все элементы, которые есть в вычитаемом. Таким элементом является $a$.

В результате операции из множества $\{a, b\}$ удаляется элемент $a$, и остается множество, содержащее только элемент $b$:$\{a, b\} \backslash \{a\} = \{b\}$

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений, сравнивая его с полученным результатом $\{b\}$.

1) $\{a, b\} \backslash \{a\} = b;$
Это утверждение неверно. Результатом операции над множествами всегда является множество, а не отдельный элемент. Множество $\{b\}$, содержащее элемент $b$, не равно самому элементу $b$.

2) $\{a, b\} \backslash \{a\} = \{a, b\};$
Это утверждение неверно. Элемент $a$ должен быть удален из множества $\{a, b\}$ в результате операции вычитания, поэтому результат не может быть равен исходному множеству.

3) $\{a, b\} \backslash \{a\} = \{a\};$
Это утверждение неверно. По определению разности множеств, элемент $a$ должен быть удален, а не остаться в результирующем множестве.

4) $\{a, b\} \backslash \{a\} = \{b\}?$
Это утверждение верно. Как было показано выше, результат вычисления $\{a, b\} \backslash \{a\}$ в точности равен множеству $\{b\}$.

Таким образом, единственно верным является четвертое утверждение.
Ответ: 4

1.16. Найдите разность множеств $A$ и $B$, если:

1) $A = N, B = \{x \mid x = 2n, n \in N\};$

2) $A$ — множество однозначных чисел, $B$ — множество простых чисел;

3) $A$ — множество равносторонних треугольников, $B$ — множество равнобедренных треугольников.

1) Разностью множеств $A$ и $B$, обозначаемой как $A \setminus B$, является множество всех элементов, которые принадлежат множеству $A$, но не принадлежат множеству $B$.
В данном случае, множество $A = N$ — это множество всех натуральных чисел: $A = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$.
Множество $B = \{x | x = 2n, n \in N\}$ — это множество всех четных натуральных чисел: $B = \{2, 4, 6, 8, ...\}$.
Чтобы найти разность $A \setminus B$, необходимо из множества натуральных чисел $A$ исключить все его элементы, которые также содержатся в множестве $B$ (то есть все четные числа).
$A \setminus B = \{1, 2, 3, 4, ...\} \setminus \{2, 4, 6, 8, ...\} = \{1, 3, 5, 7, ...\}$.
В результате мы получаем множество всех нечетных натуральных чисел.
Ответ: Множество нечетных натуральных чисел, или $\{x | x = 2k - 1, k \in N\}$.

2) Множество $A$ — это множество однозначных чисел. Будем рассматривать цифры: $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.
Множество $B$ — это множество простых чисел. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. $B = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...\}$.
Разность $A \setminus B$ будет состоять из однозначных чисел, которые не являются простыми.
Проверим каждый элемент множества $A$:
• 0 не является простым числом.
• 1 не является простым числом.
• 2 является простым числом.
• 3 является простым числом.
• 4 не является простым числом (составное).
• 5 является простым числом.
• 6 не является простым числом (составное).
• 7 является простым числом.
• 8 не является простым числом (составное).
• 9 не является простым числом (составное).
Таким образом, из множества $A$ нужно исключить все простые числа, которые в нем содержатся: $\{2, 3, 5, 7\}$.
$A \setminus B = \{0, 1, 4, 6, 8, 9\}$.
Ответ: $\{0, 1, 4, 6, 8, 9\}$.

3) Множество $A$ — это множество всех равносторонних треугольников. У равностороннего треугольника все три стороны равны.
Множество $B$ — это множество всех равнобедренных треугольников. По определению, у равнобедренного треугольника как минимум две стороны равны.
Разность $A \setminus B$ — это множество таких элементов из $A$, которых нет в $B$. То есть, это множество равносторонних треугольников, которые не являются равнобедренными.
Любой равносторонний треугольник имеет три равные стороны. Следовательно, он автоматически удовлетворяет условию "как минимум две стороны равны". Это означает, что любой равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Таким образом, множество $A$ является подмножеством множества $B$ ($A \subset B$).
Поскольку все элементы множества $A$ также являются элементами множества $B$, то в разности $A \setminus B$ не останется ни одного элемента.
Следовательно, результатом является пустое множество.
Ответ: Пустое множество, $\emptyset$.

1.17. Пусть $A$ — множество цифр десятичной системы счисления, $B$ — множество, состоящее из цифр 1, 3 и 5. Укажите множество, являющееся дополнением множества $B$ до множества $A$.

По условию задачи, множество A — это множество цифр десятичной системы счисления. Запишем все элементы этого множества:

$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Множество B, согласно условию, состоит из цифр 1, 3 и 5:

$B = \{1, 3, 5\}$

Дополнением множества B до множества A называется множество, состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Это операция разности множеств, которая обозначается как $A \setminus B$.

Чтобы найти это множество, необходимо из множества A удалить все элементы, которые также содержатся в множестве B. В данном случае, мы должны удалить из A цифры 1, 3 и 5.

Выполним операцию вычитания:

$A \setminus B = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \setminus \{1, 3, 5\} = \{0, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

Таким образом, искомое множество — это $\{0, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$.

Ответ: $\{0, 2, 4, 6, 7, 8, 9\}$

1.18. Известно, что для любого множества $B$ множество $A$ является его подмножеством. Найдите множество $A$.

По условию задачи, множество $A$ является подмножеством любого множества $B$. Это можно записать в виде логического выражения: $ \forall B (A \subseteq B) $.

Нам нужно найти, что представляет собой множество $A$.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что множество $A$ не является пустым, то есть оно содержит хотя бы один элемент. Назовем этот элемент $x$. Таким образом, $x \in A$.

Поскольку по условию множество $A$ является подмножеством любого множества $B$, мы можем выбрать в качестве $B$ какое-то конкретное множество. В качестве такого множества выберем пустое множество $ \emptyset $, которое по определению не содержит ни одного элемента.

Тогда, согласно условию, должно выполняться включение $ A \subseteq \emptyset $.

Определение подмножества гласит, что если $ A \subseteq \emptyset $, то каждый элемент множества $A$ должен также быть элементом множества $ \emptyset $.

Следовательно, наш элемент $x$, для которого мы предположили, что $x \in A$, должен также принадлежать пустому множеству, то есть $x \in \emptyset$.

Однако по определению в пустом множестве нет ни одного элемента. Мы получили противоречие: элемент $x$ одновременно существует в $A$ и не может существовать, так как должен принадлежать $ \emptyset $.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение (что множество $A$ непустое) было неверным. Следовательно, в множестве $A$ не может быть ни одного элемента.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Оно обозначается как $ \emptyset $ или $ \{\} $.

Таким образом, единственным множеством, которое удовлетворяет данному условию, является пустое множество, так как по аксиоматике теории множеств пустое множество является подмножеством любого множества.

Ответ: $A = \emptyset$ (пустое множество).

1.19. Известно, что для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cap B = A$. Найдите множество $A$.

По условию задачи дано, что для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cap B = A$.

Рассмотрим, что означает это равенство. Операция пересечения множеств $A \cap B$ даёт в результате новое множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Если результатом пересечения $A \cap B$ является само множество $A$, это означает, что все элементы множества $A$ также содержатся и в множестве $B$. По определению, это значит, что $A$ является подмножеством $B$. Формально это записывается как $A \subseteq B$.

Таким образом, исходное условие эквивалентно тому, что множество $A$ является подмножеством любого множества $B$.

Докажем от противного. Предположим, что множество $A$ не является пустым, то есть $A \neq \emptyset$. В этом случае в $A$ существует хотя бы один элемент, назовём его $x$. Итак, $x \in A$.

Поскольку $A$ должно быть подмножеством любого множества $B$, то $x$ должен принадлежать любому множеству $B$. Однако легко указать множество, которое не содержит элемент $x$. Например, рассмотрим множество $B = \emptyset$ (пустое множество). По условию, должно выполняться $A \subseteq \emptyset$. Это означает, что любой элемент из $A$ (в частности, $x$) должен быть элементом $\emptyset$. Но пустое множество по определению не содержит элементов. Мы пришли к противоречию.

Следовательно, наше предположение о том, что $A$ не является пустым, неверно. Единственно возможный случай — это когда $A$ не содержит ни одного элемента.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается $\emptyset$.

Проверим, действительно ли $A = \emptyset$ удовлетворяет условию задачи. Подставим $A = \emptyset$ в исходное равенство: $\emptyset \cap B = \emptyset$. Пересечение любого множества $B$ с пустым множеством $\emptyset$ всегда даёт в результате пустое множество, так как у них нет общих элементов. Таким образом, равенство выполняется для любого множества $B$.

Ответ: $A = \emptyset$.

1.20. Известно, что для любого множества $B$ выполняется равенство $A \cup B = B$. Найдите множество $A$.

По условию задачи, для любого множества $B$ должно выполняться равенство $A \cup B = B$.

Из определения операции объединения множеств следует, что любой элемент множества $A$ также является элементом множества $A \cup B$. Математически это записывается как $A \subseteq A \cup B$.

Поскольку по условию задачи $A \cup B = B$, мы можем подставить $B$ вместо $A \cup B$ в предыдущее соотношение и получить: $A \subseteq B$.

Это включение ($A \subseteq B$) должно выполняться для абсолютно любого множества $B$. Чтобы найти множество $A$, мы можем выбрать в качестве $B$ какой-нибудь частный случай. Наиболее удобным и строгим выбором является пустое множество.

Пусть $B = \emptyset$ (пустое множество). Условие должно выполняться и для этого случая. Подставим $B = \emptyset$ в исходное равенство:
$A \cup \emptyset = \emptyset$

По свойству объединения множеств, объединение любого множества $A$ с пустым множеством равно самому множеству $A$, то есть $A \cup \emptyset = A$.
Следовательно, равенство принимает вид:
$A = \emptyset$

Мы получили, что $A$ должно быть пустым множеством. Теперь необходимо выполнить проверку: будет ли исходное равенство $A \cup B = B$ верным для любого множества $B$, если $A = \emptyset$.

Подставим $A = \emptyset$ в исходное равенство:
$\emptyset \cup B = B$

Это равенство является одним из основных свойств теории множеств и справедливо для любого множества $B$. Таким образом, наше решение верно.
Ответ: $A = \emptyset$.

1.21. Найдите подмножества $A$ и $B$ множества $C$ такие, что для любого подмножества $X$ множества $C$ выполняется равенство $X \cap A = X \cup B$.

Рассмотрим данное в условии равенство: $X \setminus A = X \cup B$. Это равенство должно выполняться для любого подмножества $X$ множества $C$, где $A$ и $B$ также являются подмножествами $C$.

По определению операций над множествами, для любых множеств $X$, $A$ и $B$ справедливы следующие включения:

• Разность множеств $X \setminus A$ является подмножеством $X$: $X \setminus A \subseteq X$.
• Множество $X$ является подмножеством объединения $X \cup B$: $X \subseteq X \cup B$.

Из исходного равенства $X \setminus A = X \cup B$ и указанных выше включений следует, что $X \setminus A \subseteq X \subseteq X \cup B$. Равенство между крайними членами этой цепочки возможно только тогда, когда оба включения также являются равенствами:

1. $X \setminus A = X$
2. $X = X \cup B$

Рассмотрим каждое из этих условий отдельно.

1. Равенство $X \setminus A = X$ означает, что из множества $X$ не удаляется ни одного элемента при вычитании множества $A$. Это возможно тогда и только тогда, когда у множеств $X$ и $A$ нет общих элементов, то есть их пересечение пусто: $X \cap A = \emptyset$.

2. Равенство $X = X \cup B$ означает, что при объединении множества $X$ с множеством $B$ не добавляется ни одного нового элемента. Это возможно тогда и только тогда, когда все элементы множества $B$ уже содержатся в $X$, то есть $B$ является подмножеством $X$: $B \subseteq X$.

Оба этих условия должны выполняться для любого подмножества $X$ множества $C$.

Рассмотрим условие $X \cap A = \emptyset$ для всех $X \subseteq C$. Поскольку $A \subseteq C$, мы можем в качестве $X$ взять само множество $A$. Тогда условие принимает вид $A \cap A = \emptyset$. Так как пересечение множества с самим собой есть само это множество ($A \cap A = A$), получаем, что $A = \emptyset$.

Теперь рассмотрим условие $B \subseteq X$ для всех $X \subseteq C$. Мы можем в качестве $X$ взять пустое множество $\emptyset$, так как $\emptyset \subseteq C$. Тогда условие принимает вид $B \subseteq \emptyset$. Единственное множество, которое является подмножеством пустого множества, — это само пустое множество. Следовательно, $B = \emptyset$.

Итак, мы получили, что $A$ и $B$ должны быть пустыми множествами.

Проверим найденное решение. Если $A = \emptyset$ и $B = \emptyset$, то исходное равенство $X \setminus A = X \cup B$ для любого $X$ примет вид:

$X \setminus \emptyset = X \cup \emptyset$

$X = X$

Это тождество верно для любого множества $X$. Значит, найденное решение является верным.

Ответ: $A = \emptyset$ и $B = \emptyset$.