Страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.9. Множества $A$ и $B$ — области истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$, заданных на множестве $M$ (рис. 4.2). Заштрихуйте область истинности предиката:

1) $A(x) \wedge B(x)$;

2) $A(x) \vee B(x)$;

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$.

а

б

в

г

Рис. 4.2

Область истинности предиката представляет собой множество всех элементов $x$ из универсального множества $M$, для которых предикат является истинным. Логическим операциям над предикатами соответствуют операции над их областями истинности (множествами). Рассмотрим каждый случай для четырех представленных диаграмм.

Предикат $A(x) \land B(x)$ (конъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинны оба предиката: и $A(x)$, и $B(x)$. Область истинности этого предиката соответствует пересечению областей истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$, то есть пересечению множеств $A$ и $B$. Математически это выражается как $A \cap B$.

• а) Множества $A$ и $B$ не пересекаются, то есть $A \cap B = \emptyset$. Заштрихованной области нет.
• б) Множества $A$ и $B$ пересекаются. Заштриховать нужно их общую часть (область пересечения).
• в) Множество $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$). Их пересечением является само множество $A$, то есть $A \cap B = A$. Нужно заштриховать всё множество $A$.
• г) Множество $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Их пересечением является само множество $B$, то есть $A \cap B = B$. Нужно заштриховать всё множество $B$.

Ответ: Заштрихованная область соответствует пересечению множеств $A \cap B$.

Предикат $A(x) \lor B(x)$ (дизъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов: $A(x)$ или $B(x)$ (или оба сразу). Область истинности этого предиката соответствует объединению областей истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$, то есть объединению множеств $A$ и $B$. Математически это выражается как $A \cup B$.

• а) Множества $A$ и $B$ не пересекаются. Заштриховать нужно оба множества $A$ и $B$ полностью.
• б) Множества $A$ и $B$ пересекаются. Заштриховать нужно всю область, занимаемую обоими множествами, включая их пересечение.
• в) Множество $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$). Их объединением является множество $B$, то есть $A \cup B = B$. Нужно заштриховать всё множество $B$.
• г) Множество $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Их объединением является множество $A$, то есть $A \cup B = A$. Нужно заштриховать всё множество $A$.

Ответ: Заштрихованная область соответствует объединению множеств $A \cup B$.

Предикат $A(x) \Rightarrow B(x)$ (импликация) ложен только в одном случае: когда $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. Импликация $A(x) \Rightarrow B(x)$ эквивалентна выражению $\neg A(x) \lor B(x)$. Область истинности этого предиката соответствует объединению дополнения множества $A$ и множества $B$. Математически это выражается как $(M \setminus A) \cup B$. Эта область включает в себя всё, что не входит в $A$, плюс всё, что входит в $B$. Иначе говоря, нужно заштриховать всё, кроме той части $A$, которая не принадлежит $B$ (т.е. кроме разности $A \setminus B$).

• а) Множества $A$ и $B$ не пересекаются. Разность $A \setminus B$ равна самому множеству $A$. Следовательно, нужно заштриховать всё универсальное множество $M$, за исключением множества $A$.
• б) Множества $A$ и $B$ пересекаются. Разность $A \setminus B$ — это та часть множества $A$, которая не пересекается с $B$. Нужно заштриховать всё множество $M$, за исключением этой части.
• в) Множество $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$). В этом случае разность $A \setminus B = \emptyset$. Областью истинности будет $M \setminus \emptyset = M$. Нужно заштриховать всё универсальное множество $M$.
• г) Множество $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Разность $A \setminus B$ — это область множества $A$, не включающая в себя множество $B$ (форма "кольца"). Нужно заштриховать всё множество $M$, за исключением этой области. То есть заштрихованным окажется множество $B$ и область вне множества $A$.

Ответ: Заштрихованная область соответствует множеству $(M \setminus A) \cup B$ или, что то же самое, $M \setminus (A \setminus B)$.

4.10. Среди предикатов, заданных на множестве $R$, укажите равносильные:

$A(x) \equiv \{-x^2 = 2\}$;

$C(x) \equiv {\lfloor x \rfloor > x}$;

$B(x) \equiv \{(x - 3)^2 > 0\}$;

$D(x) \equiv \left\{\frac{x - 3}{x - 3} = 1\right\}$.

Два предиката называются равносильными (эквивалентными), если их множества истинности совпадают. Множество истинности предиката — это множество всех значений переменной из заданной области (в данном случае, множество действительных чисел $R$), при которых предикат обращается в истинное высказывание.

Для определения равносильных предикатов найдем множество истинности для каждого из них.

A(x) ≡ {-x² = 2}
Рассмотрим уравнение $-x^2 = 2$. Умножив обе части на $-1$, получим равносильное уравнение $x^2 = -2$.
Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), данное уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел $R$.
Следовательно, множество истинности предиката $A(x)$ является пустым множеством: $T_A = \emptyset$.

B(x) ≡ {(x - 3)² > 0}
Рассмотрим неравенство $(x - 3)^2 > 0$. Выражение $(x - 3)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(x - 3)^2 \ge 0$.
Равенство нулю, $(x - 3)^2 = 0$, достигается только в одном случае: когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.
Таким образом, строгое неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$.
Множество истинности предиката $B(x)$ — это множество всех действительных чисел, кроме 3: $T_B = R \setminus \{3\}$.

C(x) ≡ {[x] > x}
В данном предикате $[x]$ обозначает функцию "целая часть числа" (антье, или "пол"), то есть наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.
По определению функции целой части, для любого действительного числа $x$ всегда выполняется неравенство $[x] \le x$.
Следовательно, условие $[x] > x$ не может быть выполнено ни для какого действительного числа $x$.
Множество истинности предиката $C(x)$ является пустым множеством: $T_C = \emptyset$.

D(x) ≡ { (x-3)/(x-3) = 1 }
Рассмотрим уравнение $\frac{x-3}{x-3} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
Для всех $x$ из ОДЗ ($x \ne 3$) числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю, поэтому их частное равно 1. Уравнение принимает вид $1=1$, что является верным тождеством.
Следовательно, множество истинности предиката $D(x)$ совпадает с его областью допустимых значений: $T_D = R \setminus \{3\}$.

Теперь сравним полученные множества истинности:
$T_A = \emptyset$
$T_B = R \setminus \{3\}$
$T_C = \emptyset$
$T_D = R \setminus \{3\}$
Мы видим, что множества истинности предикатов $A(x)$ и $C(x)$ совпадают ($T_A = T_C$), и множества истинности предикатов $B(x)$ и $D(x)$ также совпадают ($T_B = T_D$).
Ответ: Равносильными являются следующие пары предикатов: $A(x)$ и $C(x)$; $B(x)$ и $D(x)$.

4.11. Предикаты A(x), B(x) и C(x) заданы на множестве M. Докажите, что:

1) $(A(x) \wedge B(x)) \wedge C(x) \equiv A(x) \wedge (B(x) \wedge C(x));$

2) $(A(x) \vee B(x)) \vee C(x) \equiv A(x) \vee (B(x) \vee C(x));$

3) $A(x) \vee (B(x) \wedge C(x)) \equiv (A(x) \vee B(x)) \wedge (A(x) \vee C(x));$

4) $\overline{A(x) \wedge B(x)} \equiv \overline{A(x)} \vee \overline{B(x)};$

5) $\overline{A(x) \vee B(x)} \equiv \overline{A(x)} \wedge \overline{B(x)}.$

Для доказательства данных тождеств воспользуемся методом построения таблиц истинности. Для любого элемента $x \in M$ предикаты $A(x)$, $B(x)$ и $C(x)$ принимают значение "истина" (И) или "ложь" (Л). Тождество считается доказанным, если столбцы таблиц истинности для левой и правой частей равенства совпадают при всех возможных наборах значений предикатов.

1) $(A(x) \land B(x)) \land C(x) \equiv A(x) \land (B(x) \land C(x))$

Это свойство ассоциативности конъюнкции. Составим таблицу истинности.

Столбцы для $(A(x) \land B(x)) \land C(x)$ и $A(x) \land (B(x) \land C(x))$ полностью совпадают. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

2) $(A(x) \lor B(x)) \lor C(x) \equiv A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$

Это свойство ассоциативности дизъюнкции. Составим таблицу истинности.

Столбцы для $(A(x) \lor B(x)) \lor C(x)$ и $A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$ идентичны, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

3) $A(x) \lor (B(x) \land C(x)) \equiv (A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$

Это свойство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Составим таблицу истинности.

Столбцы для $A(x) \lor (B(x) \land C(x))$ и $(A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$ полностью совпадают, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

4) $\overline{A(x) \land B(x)} \equiv \overline{A(x)} \lor \overline{B(x)}$

Это один из законов де Моргана. Черта сверху обозначает операцию отрицания. Докажем тождество с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $\overline{A(x) \land B(x)}$ и $\overline{A(x)} \lor \overline{B(x)}$ совпадают, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

5) $\overline{A(x) \lor B(x)} \equiv \overline{A(x)} \land \overline{B(x)}$

Это второй закон де Моргана. Докажем его с помощью таблицы истинности.

Столбцы для $\overline{A(x) \lor B(x)}$ и $\overline{A(x)} \land \overline{B(x)}$ совпадают, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

4.12. Укажите истинные высказывания:

1) $(\forall x \in R) |x| > x;$

2) $(\exists x \in R) |x| \leq 0;$

3) $(\forall n \in N) (n^2 - n) : 2.$

1) $(\forall x \in R) |x| > x$
Данное высказывание утверждает, что для любого действительного числа $x$ его модуль строго больше самого числа. Проверим это утверждение на контрпримере. Возьмем любое неотрицательное число, например, $x = 5$. Для него $|x| = |5| = 5$. Неравенство $5 > 5$ является ложным. Аналогично для $x=0$, неравенство $|0| > 0$ также ложно. Так как для истинности высказывания с квантором всеобщности $(\forall)$ требуется, чтобы условие выполнялось для всех без исключения элементов множества, а мы нашли контрпример, то данное высказывание ложно.
Ответ: высказывание ложно.

2) $(\exists x \in R) |x| \le 0$
Данное высказывание утверждает, что существует такое действительное число $x$, для которого его модуль меньше либо равен нулю. По определению, модуль любого действительного числа — величина неотрицательная, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x \in R$. Таким образом, неравенство $|x| \le 0$ может выполняться только в одном случае: если $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x = 0$. Поскольку существует хотя бы одно число ($x=0$), удовлетворяющее условию, высказывание с квантором существования $(\exists)$ является истинным.
Ответ: высказывание истинно.

3) $(\forall n \in N) (n^2 - n) \vdots 2$
Данное высказывание утверждает, что для любого натурального числа $n$ выражение $n^2 - n$ делится на 2. Разложим выражение на множители: $n^2 - n = n(n - 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. В любой паре последовательных чисел одно всегда является четным, а другое — нечетным. Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным, то есть делится на 2. Следовательно, выражение $n(n - 1)$ всегда делится на 2 для любого натурального $n$. Таким образом, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно.

4.13. Предикат $A(p) \equiv \{p - \text{нечётное число}\}$ задан на множестве простых чисел $P$. Укажите истинное высказывание:

1) $(\forall p \in P) A(p);$

2) $\overline{(\forall p \in P) A(p)};$

3) $(\exists p \in P) \overline{A(p)}.$

Для решения задачи проанализируем каждое из предложенных высказываний. Нам дан предикат $A(p) \equiv \{p \text{ — нечётное число}\}$ и множество $P$, которое является множеством всех простых чисел: $P = \{2, 3, 5, 7, 11, \ldots\}$.

1) $(\forall p \in P) A(p)$

Данное высказывание утверждает, что «для любого элемента $p$ из множества простых чисел $P$ предикат $A(p)$ является истинным». Другими словами, «все простые числа являются нечётными». Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы одно простое число, которое не является нечётным (то есть является чётным). Таким числом является $2$. Число $2$ принадлежит множеству простых чисел $P$, но оно является чётным. Следовательно, высказывание $(\forall p \in P) A(p)$ ложно.
Ответ: Ложь.

2) $\overline{(\forall p \in P) A(p)}$

Это высказывание является отрицанием высказывания из пункта 1. Оно читается как: «Неверно, что все простые числа являются нечётными». Поскольку мы уже установили, что утверждение «все простые числа являются нечётными» — ложно, его отрицание будет истинным.
Ответ: Истина.

3) $(\exists p \in P) \overline{A(p)}$

Это высказывание утверждает, что «существует элемент $p$ в множестве простых чисел $P$, для которого предикат $\overline{A(p)}$ является истинным». Предикат $\overline{A(p)}$ является отрицанием предиката $A(p)$, то есть $\overline{A(p)} \equiv \{p \text{ — не является нечётным числом}\} \equiv \{p \text{ — чётное число}\}$. Таким образом, высказывание можно прочитать как: «Существует простое число, которое является чётным». Такое число действительно существует — это число $2$. Оно простое и чётное. Следовательно, данное высказывание истинно.
Также стоит отметить, что по одному из законов де Моргана для кванторов, высказывание $\overline{(\forall p \in P) A(p)}$ логически эквивалентно высказыванию $(\exists p \in P) \overline{A(p)}$. Поскольку мы установили, что высказывание в пункте 2 истинно, то и это высказывание также должно быть истинным.
Ответ: Истина.

Таким образом, истинными являются высказывания 2 и 3. В задаче, вероятно, подразумевается выбор одного из них, но оба являются верными.