Страница 41 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.14. Для теоремы «если некоторое натуральное число делится нацело на 5, то его квадрат делится нацело на 25» сформулируйте обратную теорему, противоположную теорему и теорему, обратную противоположной.

Обозначим исходную теорему в виде условного утверждения «если P, то Q», где P — условие, а Q — заключение.

Условие (P): «некоторое натуральное число $n$ делится нацело на 5».

Заключение (Q): «квадрат этого числа $n^2$ делится нацело на 25».

Таким образом, исходная теорема: $P \Rightarrow Q$.

Обратная теорема

Обратная теорема имеет вид «если Q, то P». Для ее формулировки необходимо поменять местами условие и заключение исходной теоремы.

Новое условие (Q): «квадрат некоторого натурального числа делится нацело на 25».

Новое заключение (P): «это число делится нацело на 5».

Ответ: Если квадрат некоторого натурального числа делится нацело на 25, то это число делится нацело на 5.

Противоположная теорема

Противоположная теорема имеет вид «если не P, то не Q». Для ее формулировки необходимо заменить условие и заключение исходной теоремы на их отрицания.

Новое условие (не P): «некоторое натуральное число не делится нацело на 5».

Новое заключение (не Q): «его квадрат не делится нацело на 25».

Ответ: Если некоторое натуральное число не делится нацело на 5, то его квадрат не делится нацело на 25.

Теорема, обратная противоположной

Эта теорема, также называемая контрапозицией, имеет вид «если не Q, то не P». Для ее формулировки нужно поменять местами отрицания условия и заключения.

Новое условие (не Q): «квадрат некоторого натурального числа не делится нацело на 25».

Новое заключение (не P): «это число не делится нацело на 5».

Ответ: Если квадрат некоторого натурального числа не делится нацело на 25, то это число не делится нацело на 5.

4.15. Для теоремы «если в некотором выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность» сформулируйте обратную теорему, противоположную теорему и теорему, обратную противоположной.

Для решения задачи представим исходную теорему в виде логического утверждения «Если A, то B», где A — условие, а B — заключение.

Условие (A): «в некотором выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны». Если обозначить длины последовательных сторон четырехугольника $a, b, c, d$, то это условие можно записать формулой $a+c=b+d$.

Заключение (B): «в него можно вписать окружность».

обратную теорему

Обратная теорема имеет структуру «Если B, то A», где условие и заключение исходной теоремы меняются местами.

Ответ: Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон равны.

противоположную теорему

Противоположная теорема имеет структуру «Если не A, то не B», где и условие, и заключение исходной теоремы заменяются на их отрицания. Отрицанием для A будет утверждение, что суммы противолежащих сторон не равны ($a+c \neq b+d$), а для B — что окружность вписать нельзя.

Ответ: Если в некотором выпуклом четырехугольнике суммы противолежащих сторон не равны, то в него нельзя вписать окружность.

теорему, обратную противоположной

Теорема, обратная противоположной (также известная как контрапозиция), имеет структуру «Если не B, то не A». Она получается, когда в обратной теореме условие и заключение заменяются на их отрицания. Эта теорема логически эквивалентна исходной.

Ответ: Если в выпуклый четырехугольник нельзя вписать окружность, то суммы его противолежащих сторон не равны.