Страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.18. Найдите $\max_M f(x)$ и $\min_M f(x)$, если:

1) $f(x) = -x^2 - 8x - 3, M = R$;

2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}, M = D(f).$

1) $f(x) = -x^2 - 8x - 3, M = \mathbb{R}$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение в своей вершине и не имеет минимального значения, так как область её значений $(-\infty, y_0]$, где $y_0$ — ордината вершины.

Найдём координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае $a = -1$, $b = -8$.

$x_0 = -\frac{-8}{2(-1)} = -\frac{-8}{-2} = -4$.

Максимальное значение функции равно значению функции в точке $x_0 = -4$.

$\max_{M} f(x) = f(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) - 3 = -16 + 32 - 3 = 13$.

Минимального значения у функции не существует, так как при $x \to \pm\infty$, значение функции стремится к $-\infty$.

Ответ: $\max_{\mathbb{R}} f(x) = 13$, $\min_{\mathbb{R}} f(x)$ не существует.

2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}, M = D(f)$

Сначала найдём область определения функции $D(f)$, которая и является множеством $M$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - x^2 \ge 0$

$x(2 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, находим, что оно выполняется при $x \in [0, 2]$. Таким образом, $M = D(f) = [0, 2]$.

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на отрезке $[0, 2]$. Для этого найдём производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки.

$f'(x) = (\sqrt{2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0$

Это уравнение равносильно $1 - x = 0$, откуда $x = 1$. Точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах.

Вычислим значения функции в точках $x=0$, $x=1$ и $x=2$.

$f(0) = \sqrt{2(0) - 0^2} = \sqrt{0} = 0$.

$f(1) = \sqrt{2(1) - 1^2} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$.

$f(2) = \sqrt{2(2) - 2^2} = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0$.

Сравнивая полученные значения $\{0, 1, 0\}$, видим, что наибольшее значение равно 1, а наименьшее — 0.

Ответ: $\max_{D(f)} f(x) = 1$, $\min_{D(f)} f(x) = 0$.

5.19. Нечётная функция $f$ такова, что $0 \in D(f)$. Найдите $f(0)$.

Функция $f$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

По условию задачи, $0$ принадлежит области определения функции $f$, то есть $0 \in D(f)$. Это означает, что для $x=0$ равенство, определяющее нечётную функцию, также должно выполняться.

Подставим $x=0$ в это равенство:

$f(-0) = -f(0)$

Поскольку $-0 = 0$, мы получаем:

$f(0) = -f(0)$

Чтобы решить это уравнение относительно $f(0)$, перенесём $-f(0)$ из правой части в левую:

$f(0) + f(0) = 0$

$2 \cdot f(0) = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$f(0) = 0$

Ответ: 0

5.20. Нечётная функция $f$ имеет 4 нуля. Докажите, что $0 \notin D(f)$.

Доказательство проведём методом от противного.

Предположим, что $0$ принадлежит области определения функции $f$, то есть $0 \in D(f)$.

По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Поскольку мы предположили, что $0 \in D(f)$, мы можем применить это свойство для $x = 0$:

$f(-0) = -f(0)$
$f(0) = -f(0)$
$2 \cdot f(0) = 0$
$f(0) = 0$

Из этого следует, что если $0$ входит в область определения нечётной функции, то $x=0$ обязательно является одним из её нулей.

Теперь рассмотрим остальные нули функции. Пусть $x_0 \neq 0$ является нулём функции $f$, то есть $f(x_0) = 0$.

Используя свойство нечётности, получаем:

$f(-x_0) = -f(x_0) = -0 = 0$.

Следовательно, если $x_0$ — ненулевой корень нечётной функции, то $-x_0$ также является её корнем. Это означает, что все ненулевые нули нечётной функции всегда существуют парами вида $(x_k, -x_k)$. Таким образом, количество ненулевых нулей всегда является чётным числом.

Если к этому чётному числу ненулевых нулей добавить один нуль в точке $x=0$ (который следует из нашего предположения), то общее количество нулей функции станет нечётным (чётное число + 1 = нечётное число).

Однако по условию задачи функция $f$ имеет 4 нуля. Число 4 — чётное.

Таким образом, мы пришли к противоречию: из нашего предположения следует, что общее число нулей должно быть нечётным, а по условию оно чётно. Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что $0 \in D(f)$, было неверным.

Следовательно, $0$ не принадлежит области определения функции $f$.

Ответ: что и требовалось доказать.

5.21. Нечётная функция $f$ имеет 7 нулей. Найдите $f(0)$.

5.21.

По определению, нечётная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из её области определения.

Область определения нечётной функции должна быть симметрична относительно нуля. Если функция определена в точке $x=0$, то это равенство должно выполняться и для неё.

Подставим $x=0$ в определение нечётной функции:

$f(-0) = -f(0)$

Так как $-0 = 0$, получаем:

$f(0) = -f(0)$

Перенесём $-f(0)$ в левую часть уравнения:

$f(0) + f(0) = 0$

$2 \cdot f(0) = 0$

Отсюда следует, что $f(0) = 0$.

Таким образом, любая нечётная функция, определённая в точке $x=0$, имеет в этой точке значение, равное нулю. Это означает, что $x=0$ является одним из нулей функции.

По условию, функция имеет 7 нулей. Нули нечётной функции (кроме $x=0$) всегда идут парами $(x_0, -x_0)$, так как если $f(x_0)=0$, то и $f(-x_0) = -f(x_0) = -0 = 0$. Так как общее число нулей нечётно (7), это обязательно означает, что один из нулей — это $x=0$.

Следовательно, значение функции в точке 0 равно 0.

Ответ: $f(0) = 0$

5.22. Чётная функция $f$ имеет 7 нулей. Найдите $f(0)$.

По определению, чётная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области её определения. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Нулями функции называются значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x) = 0$.

Рассмотрим нули чётной функции. Если $x_0 \neq 0$ является нулём функции $f$, то $f(x_0) = 0$. В силу свойства чётности, мы имеем $f(-x_0) = f(x_0) = 0$. Это означает, что если $x_0$ — ненулевой корень, то и $-x_0$ также является корнем.

Таким образом, все ненулевые нули чётной функции существуют парами $(x_0, -x_0)$. Следовательно, количество ненулевых нулей у чётной функции всегда должно быть чётным числом (0, 2, 4, 6 и т.д.).

По условию задачи, функция $f$ имеет 7 нулей. Число 7 является нечётным.

Общее количество нулей представляет собой сумму количества ненулевых нулей и возможного нуля в точке $x = 0$. Так как количество ненулевых нулей обязательно чётно, а общее количество нулей (7) нечётно, это возможно только в том случае, если $x = 0$ также является нулём функции.

Математически это можно записать так:$N_{общ} = N_{ненулевых} + N_{в\;нуле}$$7 = (\text{чётное число}) + N_{в\;нуле}$

Данное равенство будет верным, только если $N_{в\;нуле}$ — нечётное число. Поскольку в точке $x = 0$ может быть только один корень, то $N_{в\;нуле} = 1$.

То, что $x=0$ является нулём функции, по определению означает, что значение функции в этой точке равно нулю.

Ответ: $f(0) = 0$.

5.23. Функция $f$ чётная, $\min_{[1;3]} f(x) = 2$ и $\max_{[1;3]} f(x) = 5$. Найдите $\min_{[-3;-1]} f(x)$, $\max_{[-3;-1]} f(x)$.

По условию, функция $f(x)$ является чётной. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Рассмотрим два отрезка: $[1; 3]$ и $[-3; -1]$. Эти отрезки симметричны относительно точки $x=0$. Если переменная $x$ принимает все значения из отрезка $[1; 3]$, то переменная $-x$ принимает все значения из отрезка $[-3; -1]$.

Поскольку для любого $x$ из отрезка $[1; 3]$ выполняется равенство $f(x) = f(-x)$, а $-x$ принадлежит отрезку $[-3; -1]$, то множество значений, которые функция $f(x)$ принимает на отрезке $[1; 3]$, полностью совпадает с множеством значений, которые она принимает на отрезке $[-3; -1]$.

Следовательно, минимальное и максимальное значения функции на этих двух отрезках будут одинаковыми.

$\min_{[-3; -1]} f(x)$
Из условия известно, что наименьшее значение функции на отрезке $[1; 3]$ равно 2: $$ \min_{[1; 3]} f(x) = 2 $$ Так как множества значений функции на отрезках $[-3; -1]$ и $[1; 3]$ совпадают, то их наименьшие значения также равны. $$ \min_{[-3; -1]} f(x) = \min_{[1; 3]} f(x) = 2 $$ Ответ: 2

$\max_{[-3; -1]} f(x)$
Из условия известно, что наибольшее значение функции на отрезке $[1; 3]$ равно 5: $$ \max_{[1; 3]} f(x) = 5 $$ Так как множества значений функции на отрезках $[-3; -1]$ и $[1; 3]$ совпадают, то их наибольшие значения также равны. $$ \max_{[-3; -1]} f(x) = \max_{[1; 3]} f(x) = 5 $$ Ответ: 5

5.24. Функция $f$ нечётная, $\min_{[2;5]} f(x) = 1$ и $\max_{[2;5]} f(x) = 3$. Найдите $\min_{[-5;-2]} f(x)$, $\max_{[-5;-2]} f(x)$.

По определению, нечётная функция $f(x)$ удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения функции.

Пусть $M_1 = \max_{[2;5]} f(x) = 3$ и $m_1 = \min_{[2;5]} f(x) = 1$.

Нам нужно найти $m_2 = \min_{[-5;-2]} f(x)$ и $M_2 = \max_{[-5;-2]} f(x)$.

Рассмотрим интервал $[-5;-2]$. Если $t \in [-5;-2]$, то $x = -t \in [2;5]$.

min_[-5;-2] f(x)

Найдём наименьшее значение функции на отрезке $[-5;-2]$.
$m_2 = \min_{x \in [-5;-2]} f(x)$.
Пусть $x = -t$, тогда, если $x$ пробегает значения от $-5$ до $-2$, то $t$ пробегает значения от $5$ до $2$. Таким образом, мы можем заменить переменную:
$m_2 = \min_{t \in [2;5]} f(-t)$.
Поскольку функция нечётная, $f(-t) = -f(t)$.
$m_2 = \min_{t \in [2;5]} (-f(t))$.
Минимум выражения $-f(t)$ достигается тогда, когда $f(t)$ принимает своё максимальное значение. Иначе говоря, $\min(-g) = -\max(g)$.
$m_2 = - \max_{t \in [2;5]} f(t) = -M_1$.
Так как $\max_{[2;5]} f(x) = 3$, то $m_2 = -3$.
Ответ: -3

max_[-5;-2] f(x)

Найдём наибольшее значение функции на отрезке $[-5;-2]$.
$M_2 = \max_{x \in [-5;-2]} f(x)$.
Аналогично предыдущему пункту, сделаем замену $x = -t$, где $t \in [2;5]$.
$M_2 = \max_{t \in [2;5]} f(-t)$.
Используя свойство нечётности $f(-t) = -f(t)$:
$M_2 = \max_{t \in [2;5]} (-f(t))$.
Максимум выражения $-f(t)$ достигается тогда, когда $f(t)$ принимает своё минимальное значение. Иначе говоря, $\max(-g) = -\min(g)$.
$M_2 = - \min_{t \in [2;5]} f(t) = -m_1$.
Так как $\min_{[2;5]} f(x) = 1$, то $M_2 = -1$.
Ответ: -1

5.25. Найдите область значений функции:

1) $y = -2x^2 + 3x - 4$;

2) $y = \frac{3x+1}{2x+3}$;

3) $y = \frac{x}{x^2-1}$.

1) Данная функция $y = -2x^2 + 3x - 4$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, область значений функции ограничена сверху значением функции в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}$.

Ордината вершины $y_v$ — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) - 4 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{18}{16} + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{32}{8} = \frac{-9 + 18 - 32}{8} = -\frac{23}{8}$.

Максимальное значение функции равно $-\frac{23}{8}$, а область значений — это все числа, не превосходящие это значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{23}{8}]$.

2) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{3x + 1}{2x + 3}$, выразим переменную $x$ через $y$.

$y(2x + 3) = 3x + 1$

$2xy + 3y = 3x + 1$

$2xy - 3x = 1 - 3y$

$x(2y - 3) = 1 - 3y$

$x = \frac{1 - 3y}{2y - 3}$

Полученное выражение для $x$ имеет смысл при всех значениях $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

$2y - 3 \neq 0$

$2y \neq 3$

$y \neq \frac{3}{2}$

Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $\frac{3}{2}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

3) Для нахождения области значений функции $y = \frac{x}{x^2 - 1}$ определим, при каких значениях $y$ уравнение $y = \frac{x}{x^2 - 1}$ имеет хотя бы одно решение относительно $x$.

Преобразуем уравнение:

$y(x^2 - 1) = x$

$yx^2 - y = x$

$yx^2 - x - y = 0$

Мы получили уравнение, которое можно рассматривать как квадратное относительно $x$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $-x = 0$, откуда $x = 0$. Это значение $x$ входит в область определения исходной функции ($0^2 - 1 \neq 0$). Значит, $y=0$ принадлежит области значений.

2. Если $y \neq 0$, то уравнение $yx^2 - x - y = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot (-y) = 1 + 4y^2$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$1 + 4y^2 \ge 0$.

Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$, то $4y^2 \ge 0$, и, следовательно, $1 + 4y^2 \ge 1$. Неравенство $1 + 4y^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $y$.

Объединяя оба случая, мы получаем, что $y$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

5.26. Найдите область значений функции:

1) $y = 5x^2 - x + 1$;

2) $y = \frac{2x - 1}{5x + 4}$;

3) $y = 4x + \frac{1}{x}$.

1) $y = 5x^2 - x + 1$

Данная функция является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 5) положителен. Следовательно, область значений функции ограничена снизу ординатой вершины параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае $a = 5$, $b = -1$, $c = 1$.

Находим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$

Находим ординату вершины, подставив значение $x_0$ в функцию. Это и будет минимальное значение функции.

$y_0 = 5\left(\frac{1}{10}\right)^2 - \frac{1}{10} + 1 = 5 \cdot \frac{1}{100} - \frac{10}{100} + \frac{100}{100} = \frac{5 - 10 + 100}{100} = \frac{95}{100} = \frac{19}{20}$

Таким образом, область значений функции (обозначается $E(y)$) — это все числа, большие или равные $\frac{19}{20}$.

Ответ: $E(y) = [\frac{19}{20}; +\infty)$.

2) $y = \frac{2x - 1}{5x + 4}$

Это дробно-линейная функция. Чтобы найти её область значений, выразим переменную $x$ через $y$. Область определения функции: $5x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -0.8$.

$y = \frac{2x - 1}{5x + 4}$

$y(5x + 4) = 2x - 1$

$5xy + 4y = 2x - 1$

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$5xy - 2x = -4y - 1$

$x(5y - 2) = -4y - 1$

Выразим $x$:

$x = \frac{-4y - 1}{5y - 2}$

Это выражение определено для всех значений $y$, при которых знаменатель не равен нулю.

$5y - 2 \neq 0$

$5y \neq 2$

$y \neq \frac{2}{5}$

Следовательно, функция может принимать любые действительные значения, кроме $\frac{2}{5}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

3) $y = 4x + \frac{1}{x}$

Для нахождения области значений этой функции рассмотрим уравнение $y = 4x + \frac{1}{x}$ как уравнение относительно $x$ с параметром $y$. Область определения функции: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$yx = 4x^2 + 1$

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $x$:

$4x^2 - yx + 1 = 0$

Это уравнение имеет действительные корни для $x$ только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = y^2 - 16$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$y^2 - 16 \ge 0$

$(y - 4)(y + 4) \ge 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $y \le -4$ или $y \ge 4$.

Таким образом, область значений функции состоит из двух промежутков.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.

5.27. Найдите:

1) $ \min_{R} (|x-1|+|x-3|) $;

2) $ \max_{R} (|x+2|-|x|) $;

3) $ \max_{R} \frac{1}{x^2+1} $.

1) Чтобы найти минимальное значение функции $f(x) = |x-1| + |x-3|$, рассмотрим ее на различных интервалах, определяемых точками, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=1$ и $x=3$.
1. При $x < 1$, оба выражения $x-1$ и $x-3$ отрицательны.
$f(x) = -(x-1) - (x-3) = -x+1-x+3 = 4-2x$.
На этом интервале функция линейно убывает.
2. При $1 \le x \le 3$, выражение $x-1$ неотрицательно, а $x-3$ неположительно.
$f(x) = (x-1) - (x-3) = x-1-x+3 = 2$.
На этом интервале функция постоянна.
3. При $x > 3$, оба выражения $x-1$ и $x-3$ положительны.
$f(x) = (x-1) + (x-3) = 2x-4$.
На этом интервале функция линейно возрастает.
Таким образом, функция убывает до $x=1$, затем принимает постоянное значение $2$ на отрезке $[1, 3]$, а затем возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции равно $2$.
Геометрически, выражение $|x-1| + |x-3|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ на числовой прямой до точек $1$ и $3$. Эта сумма минимальна, когда точка $x$ находится между точками $1$ и $3$, и равна расстоянию между ними, то есть $|3-1|=2$.
Ответ: 2.

2) Чтобы найти максимальное значение функции $g(x) = |x+2| - |x|$, рассмотрим ее на интервалах, определяемых нулями подмодульных выражений: $x=-2$ и $x=0$.
1. При $x < -2$, оба выражения $x+2$ и $x$ отрицательны.
$g(x) = -(x+2) - (-x) = -x-2+x = -2$.
2. При $-2 \le x < 0$, выражение $x+2$ неотрицательно, а $x$ отрицательно.
$g(x) = (x+2) - (-x) = x+2+x = 2x+2$.
На этом интервале функция линейно возрастает от $g(-2) = 2(-2)+2 = -2$ до $g(0) = 2(0)+2 = 2$ (не включая).
3. При $x \ge 0$, оба выражения $x+2$ и $x$ неотрицательны.
$g(x) = (x+2) - x = 2$.
На этом интервале функция постоянна.
Объединяя результаты, видим, что функция принимает значения от $-2$ до $2$ и достигает своего максимального значения $2$ при любом $x \ge 0$.
Альтернативно, можно использовать неравенство треугольника: $|a|-|b| \le |a-b|$.
Пусть $a=x+2$ и $b=x$. Тогда $|x+2|-|x| \le |(x+2)-x| = |2| = 2$.
Поскольку при $x \ge 0$ функция равна $2$, то это значение является максимальным.
Ответ: 2.

3) Чтобы найти максимальное значение функции $h(x) = \frac{1}{x^2+1}$, нужно найти минимальное значение ее знаменателя, так как числитель является положительной константой.
Рассмотрим знаменатель $D(x) = x^2+1$.
Поскольку для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $x^2 \ge 0$, то наименьшее значение $x^2$ равно $0$ и достигается при $x=0$.
Следовательно, минимальное значение знаменателя равно $D_{min} = 0^2+1 = 1$.
Это значение достигается при $x=0$.
Максимальное значение исходной функции будет равно:
$\max_{\mathbb{R}} \frac{1}{x^2+1} = \frac{1}{\min(x^2+1)} = \frac{1}{1} = 1$.
Ответ: 1.

5.28. Решите уравнение

$|x + 1| - |x| = \sqrt{x^4 + 1}$

Исходное уравнение:

$$ |x + 1| - |x| = \sqrt{x^4} + 1 $$

Сначала упростим правую часть уравнения. Поскольку $x^4 = (x^2)^2$, то $\sqrt{x^4} = \sqrt{(x^2)^2} = |x^2|$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $|x^2| = x^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$ |x + 1| - |x| = x^2 + 1 $$

Теперь оценим возможные значения левой и правой частей уравнения.

Для левой части воспользуемся свойством модуля, известным как обратное неравенство треугольника: $|a| - |b| \le |a - b|$.

Пусть $a = x + 1$ и $b = x$. Тогда:

$$ |x + 1| - |x| \le |(x + 1) - x| = |1| = 1 $$

Следовательно, значение левой части уравнения не может быть больше 1.

Для правой части уравнения, $x^2 + 1$, имеем:

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 0 + 1 = 1$.

Следовательно, значение правой части уравнения не может быть меньше 1.

Итак, мы получили, что левая часть уравнения меньше или равна 1, а правая часть больше или равна 1:

$$ |x + 1| - |x| \le 1 \quad \text{и} \quad x^2 + 1 \ge 1 $$

Равенство между левой и правой частями возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны 1. Это приводит к системе уравнений:

$$ \begin{cases} |x + 1| - |x| = 1 \\ x^2 + 1 = 1 \end{cases} $$

Решим второе, более простое, уравнение системы:

$$ x^2 + 1 = 1 $$

$$ x^2 = 0 $$

$$ x = 0 $$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x = 0$ первому уравнению системы.

Подставим $x = 0$ в левую часть:

$$ |0 + 1| - |0| = |1| - 0 = 1 $$

Равенство $1 = 1$ является верным. Следовательно, $x=0$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $0$.

5.29. Решите уравнение $|x-1| + |x+2| = \sqrt{9-x^2}$.

Для решения уравнения $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$ определим сначала область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $9 - x^2 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем: $x^2 \le 9$, $|x| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le x \le 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

Решим уравнение, используя метод оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$ и $g(x) = \sqrt{9 - x^2}$.

Исследуем левую часть: $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$

Раскроем модули на промежутках, которые определяются точками $x = -2$ и $x = 1$, с учетом ОДЗ:

1. При $x \in [-3, -2]$: $f(x) = -(x - 1) - (x + 2) = -x + 1 - x - 2 = -2x - 1$. На этом промежутке функция убывает. Значения функции меняются от $f(-3) = 5$ до $f(-2) = 3$.

2. При $x \in (-2, 1]$: $f(x) = -(x - 1) + (x + 2) = -x + 1 + x + 2 = 3$. На этом промежутке функция постоянна и равна 3.

3. При $x \in (1, 3]$: $f(x) = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1$. На этом промежутке функция возрастает. Значения функции меняются от $f(1) = 3$ до $f(3) = 7$.

Из анализа функции $f(x)$ следует, что ее наименьшее значение на области определения $[-3, 3]$ равно 3. Таким образом, для любого $x \in [-3, 3]$ справедливо неравенство $f(x) \ge 3$.

Исследуем правую часть: $g(x) = \sqrt{9 - x^2}$

Функция $g(x)$ представляет собой уравнение верхней полуокружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Наибольшее значение этой функции достигается в ее вершине при $x = 0$ и равно $g(0) = \sqrt{9 - 0^2} = 3$. Таким образом, для любого $x \in [-3, 3]$ справедливо неравенство $g(x) \le 3$.

Нахождение решения

Мы пришли к системе условий для исходного уравнения $f(x) = g(x)$: $f(x) \ge 3$ $g(x) \le 3$

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе функции одновременно принимают значение 3: $f(x) = g(x) = 3$.

Найдем, при каком значении $x$ функция $g(x)$ равна 3: $\sqrt{9 - x^2} = 3$ $9 - x^2 = 9$ $x^2 = 0$ $x = 0$.

Проверим, равно ли значение функции $f(x)$ трем при $x = 0$: $f(0) = |0 - 1| + |0 + 2| = |-1| + |2| = 1 + 2 = 3$.

Поскольку при $x=0$ обе части уравнения равны 3, это значение является единственным решением.

Ответ: $0$.