Номер 5.26, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.26. Найдите область значений функции:

1) $y = 5x^2 - x + 1$;

2) $y = \frac{2x - 1}{5x + 4}$;

3) $y = 4x + \frac{1}{x}$.

1) $y = 5x^2 - x + 1$

Данная функция является квадратичной. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 5) положителен. Следовательно, область значений функции ограничена снизу ординатой вершины параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = y(x_0)$

В нашем случае $a = 5$, $b = -1$, $c = 1$.

Находим абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10}$

Находим ординату вершины, подставив значение $x_0$ в функцию. Это и будет минимальное значение функции.

$y_0 = 5\left(\frac{1}{10}\right)^2 - \frac{1}{10} + 1 = 5 \cdot \frac{1}{100} - \frac{10}{100} + \frac{100}{100} = \frac{5 - 10 + 100}{100} = \frac{95}{100} = \frac{19}{20}$

Таким образом, область значений функции (обозначается $E(y)$) — это все числа, большие или равные $\frac{19}{20}$.

Ответ: $E(y) = [\frac{19}{20}; +\infty)$.

2) $y = \frac{2x - 1}{5x + 4}$

Это дробно-линейная функция. Чтобы найти её область значений, выразим переменную $x$ через $y$. Область определения функции: $5x+4 \neq 0$, то есть $x \neq -0.8$.

$y = \frac{2x - 1}{5x + 4}$

$y(5x + 4) = 2x - 1$

$5xy + 4y = 2x - 1$

Сгруппируем члены, содержащие $x$:

$5xy - 2x = -4y - 1$

$x(5y - 2) = -4y - 1$

Выразим $x$:

$x = \frac{-4y - 1}{5y - 2}$

Это выражение определено для всех значений $y$, при которых знаменатель не равен нулю.

$5y - 2 \neq 0$

$5y \neq 2$

$y \neq \frac{2}{5}$

Следовательно, функция может принимать любые действительные значения, кроме $\frac{2}{5}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; +\infty)$.

3) $y = 4x + \frac{1}{x}$

Для нахождения области значений этой функции рассмотрим уравнение $y = 4x + \frac{1}{x}$ как уравнение относительно $x$ с параметром $y$. Область определения функции: $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$yx = 4x^2 + 1$

Перепишем уравнение в виде стандартного квадратного уравнения относительно $x$:

$4x^2 - yx + 1 = 0$

Это уравнение имеет действительные корни для $x$ только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-y)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = y^2 - 16$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$y^2 - 16 \ge 0$

$(y - 4)(y + 4) \ge 0$

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $y \le -4$ или $y \ge 4$.

Таким образом, область значений функции состоит из двух промежутков.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$.