Номер 6.2, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.2. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{5x}$;

2) $y = \sqrt{\frac{x}{3}}$;

3) $y = (2x - 1)^2 - 4$;

4) $y = \frac{1}{1-3x}$.

1) $y = \sqrt{5x}$

Это функция квадратного корня. Её график — ветвь параболы.

1. Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x \ge 0$, откуда $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Область значений: Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Построение графика: График функции $y = \sqrt{5x}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем вертикального растяжения в $\sqrt{5}$ раз (или горизонтального сжатия в 5 раз). Найдем несколько точек для построения:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{5 \cdot 0} = 0$. Точка $(0; 0)$.
• Если $x = 1/5$, то $y = \sqrt{5 \cdot 1/5} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1/5; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = \sqrt{5 \cdot 1} = \sqrt{5} \approx 2.24$. Точка $(1; \sqrt{5})$.
• Если $x = 5$, то $y = \sqrt{5 \cdot 5} = 5$. Точка $(5; 5)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции. Он начинается в точке $(0;0)$ и уходит вправо и вверх.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(1/5; 1)$ и $(5; 5)$.

2) $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$

Это также функция квадратного корня, график которой — ветвь параболы.

1. Область определения: Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\frac{x}{3} \ge 0$. Умножим на -3 и сменим знак неравенства: $x \le 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0]$.

2. Область значений: Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Построение графика: График функции $y = \sqrt{-\frac{x}{3}}$ можно получить из графика функции $y = \sqrt{-x}$ (который симметричен $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy) путем горизонтального растяжения в 3 раза. Найдем несколько точек для построения:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{-\frac{0}{3}} = 0$. Точка $(0; 0)$.
• Если $x = -3$, то $y = \sqrt{-\frac{-3}{3}} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-3; 1)$.
• Если $x = -12$, то $y = \sqrt{-\frac{-12}{3}} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-12; 2)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график функции. Он начинается в точке $(0;0)$ и уходит влево и вверх.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и проходящая через точки $(-3; 1)$ и $(-12; 2)$.

3) $y = (2x - 1)^2 - 4$

Это квадратичная функция, её график — парабола.

1. Направление ветвей: Раскрыв скобки, получим $y = 4x^2 - 4x + 1 - 4 = 4x^2 - 4x - 3$. Коэффициент при $x^2$ равен 4, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Координаты вершины: Функция представлена в виде, близком к $y=a(x-h)^2+k$. Перепишем ее: $y = (2(x - 1/2))^2 - 4 = 4(x - 1/2)^2 - 4$. Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(1/2; -4)$.

3. Точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy (при $x=0$): $y = (2 \cdot 0 - 1)^2 - 4 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(0; -3)$.
• С осью Ox (при $y=0$): $(2x - 1)^2 - 4 = 0 \implies (2x - 1)^2 = 4 \implies 2x - 1 = \pm 2$.
  $2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точка $(1.5; 0)$.
  $2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -0.5$. Точка $(-0.5; 0)$.

4. Построение: Отмечаем на координатной плоскости вершину $(0.5; -4)$, точки пересечения с осями $(0; -3)$, $(-0.5; 0)$, $(1.5; 0)$ и, учитывая симметрию относительно прямой $x=0.5$, проводим параболу.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0.5; -4)$, ветвями вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0; -3)$ и ось Ox в точках $(-0.5; 0)$ и $(1.5; 0)$.

4) $y = \frac{1}{1 - 3x}$

Это дробно-рациональная функция, её график — гипербола.

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю: $1 - 3x \neq 0 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq 1/3$. $D(y) = (-\infty; 1/3) \cup (1/3; +\infty)$.

2. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: прямая $x = 1/3$.
• Горизонтальная асимптота: так как степень числителя (0) меньше степени знаменателя (1), горизонтальная асимптота — это прямая $y=0$.

3. Построение графика: График состоит из двух ветвей, разделенных асимптотами. Найдем несколько точек для каждой ветви:

• При $x < 1/3$:
  Если $x = 0$, то $y = \frac{1}{1 - 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.
  Если $x = -1$, то $y = \frac{1}{1 - 3(-1)} = \frac{1}{4}$. Точка $(-1; 1/4)$.
• При $x > 1/3$:
  Если $x = 2/3$, то $y = \frac{1}{1 - 3(2/3)} = \frac{1}{1 - 2} = -1$. Точка $(2/3; -1)$.
  Если $x = 1$, то $y = \frac{1}{1 - 3(1)} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Точка $(1; -0.5)$.

Чертим асимптоты $x=1/3$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и проводим через них ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: График функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1/3$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Одна ветвь проходит через точку $(0;1)$, другая — через точку $(1; -0.5)$.