Номер 6.7, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.7. Постройте график функции:

1) $y = (|x| - 1)^2;$

2) $y = \sqrt{|x| + 2};$

3) $y = \frac{1}{|x| - 3}.$

1) $y = (|x| - 1)²$

Функция является чётной, так как $y(-x) = (|-x| - 1)² = (|x| - 1)² = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

Построим график для $x \ge 0$. При этих значениях $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (x - 1)²$.

Это стандартная парабола $y = x²$, смещённая на 1 единицу вправо по оси Ox. Её вершина находится в точке $(1, 0)$.

Найдём несколько точек для этой части графика:

• При $x = 0$, $y = (0 - 1)² = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 1$, $y = (1 - 1)² = 0$. Точка $(1, 0)$ — вершина.
• При $x = 2$, $y = (2 - 1)² = 1$. Точка $(2, 1)$.

Теперь, используя свойство симметрии, отразим построенную часть графика относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• Точка $(1, 0)$ отразится в точку $(-1, 0)$.
• Точка $(2, 1)$ отразится в точку $(-2, 1)$.
• Точка $(0, 1)$ останется на месте, так как она лежит на оси симметрии.

Для $x < 0$ функция имеет вид $y = (-x - 1)² = (x + 1)²$. Это парабола $y = x²$, смещённая на 1 единицу влево. Итоговый график состоит из двух частей парабол, соединённых в точке $(0, 1)$. Он напоминает букву "W".

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из части параболы $y = (x-1)²$ при $x \ge 0$ и части параболы $y = (x+1)²$ при $x < 0$. График имеет две точки минимума $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и точку локального максимума $(0, 1)$.

2) $y = \sqrt{|x| + 2}$

Функция является чётной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x| + 2} = \sqrt{|x| + 2} = y(x)$. Её график симметричен относительно оси Oy.

Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x + 2}$.

Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещённый на 2 единицы влево по оси Ox. Область определения этой части — $x \ge -2$. Мы строим её для $x \ge 0$.

Найдём несколько точек для этой части графика:

• При $x = 0$, $y = \sqrt{0 + 2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$. Это точка минимума всей функции.
• При $x = 2$, $y = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.
• При $x = 7$, $y = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(7, 3)$.

Теперь отразим эту часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• Точка $(2, 2)$ отразится в точку $(-2, 2)$.
• Точка $(7, 3)$ отразится в точку $(-7, 3)$.
• Точка $(0, \sqrt{2})$ останется на месте.

Область определения исходной функции — все действительные числа, так как подкоренное выражение $|x| + 2$ всегда положительно ($|x| \ge 0$, значит $|x| + 2 \ge 2$).

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из графика функции $y = \sqrt{x+2}$ для $x \ge 0$ и его зеркального отражения относительно оси Oy для $x < 0$. График представляет собой две ветви, выходящие из точки $(0, \sqrt{2})$, которая является точкой минимума.

3) $y = \frac{1}{|x| - 3}$

Функция является чётной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x| - 3} = \frac{1}{|x| - 3} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Найдём область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю:

$|x| - 3 \ne 0 \Rightarrow |x| \ne 3 \Rightarrow x \ne 3$ и $x \ne -3$.

Таким образом, прямые $x=3$ и $x=-3$ являются вертикальными асимптотами графика.

При $x \to \pm\infty$, $|x| \to \infty$, знаменатель $|x|-3 \to \infty$, следовательно $y \to 0$. Прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота.

Построим график для $x \ge 0$ (и $x \ne 3$). При этих значениях $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{x - 3}$.

Это стандартная гипербола $y = \frac{1}{x}$, смещённая на 3 единицы вправо по оси Ox.

Найдём несколько точек для этой части графика:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{0 - 3} = -\frac{1}{3}$. Точка $(0, -1/3)$. Это точка локального максимума.
• При $x = 2$, $y = \frac{1}{2 - 3} = -1$. Точка $(2, -1)$.
• При $x \to 3$ слева ($x < 3$), $y \to -\infty$.
• При $x = 4$, $y = \frac{1}{4 - 3} = 1$. Точка $(4, 1)$.
• При $x \to 3$ справа ($x > 3$), $y \to +\infty$.

Теперь отразим построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Вертикальная асимптота $x=3$ отразится в $x=-3$.

График будет состоять из трёх ветвей:

1. В интервале $(3, +\infty)$ — ветвь гиперболы, приближающаяся к асимптотам $x=3$ и $y=0$.
2. В интервале $(-\infty, -3)$ — симметричная ей ветвь.
3. В интервале $(-3, 3)$ — кривая, проходящая через точку $(0, -1/3)$ и уходящая в $-\infty$ при приближении к асимптотам $x=-3$ и $x=3$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy, имеет вертикальные асимптоты $x = 3$ и $x = -3$, и горизонтальную асимптоту $y = 0$. График состоит из трёх ветвей: в интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$. Точка $(0, -1/3)$ является локальным максимумом.