Номер 6.12, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.12. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра $a$:

1) $|x^2 - 1| = a$;

2) $|(x + 2)^2 - 3| = a$;

3) $|(|x| - 2)^2 - 3| = a$?

Решим уравнение $|x^2 - 1| = a$ графически. Для этого построим график функции $y = |x^2 - 1|$ и найдем количество точек его пересечения с горизонтальной прямой $y = a$.

График функции $y = |x^2 - 1|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 1$. Парабола $y = x^2 - 1$ имеет вершину в точке $(0, -1)$ и пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 1$. Часть параболы, расположенная ниже оси Ox (при $x \in (-1, 1)$), симметрично отражается вверх относительно этой оси. В результате получаем график функции $y = |x^2 - 1|$, который имеет локальные минимумы в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и локальный максимум в точке $(0, 1)$.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y = |x^2 - 1|$ с прямой $y = a$ в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a < 0$, прямая $y=a$ находится ниже оси Ox. Поскольку значения функции $y = |x^2 - 1|$ неотрицательны, точек пересечения нет. Уравнение не имеет корней.

2. Если $a = 0$, прямая $y=a$ совпадает с осью Ox. График касается оси в двух точках $x = -1$ и $x = 1$. Уравнение имеет два корня.

3. Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках.

4. Если $a = 1$, прямая $y=a$ проходит через локальный максимум $(0, 1)$ и пересекает две ветви параболы. Уравнение имеет три корня ($x=0, x=\pm\sqrt{2}$).

5. Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках.

Ответ: если $a < 0$ – корней нет; если $a = 0$ или $a > 1$ – два корня; если $a = 1$ – три корня; если $0 < a < 1$ – четыре корня.

Решим уравнение $|(x + 2)^2 - 3| = a$ графически. Построим график функции $y = |(x + 2)^2 - 3|$ и найдем количество точек его пересечения с прямой $y = a$.

График функции $y = |(x + 2)^2 - 3|$ получается из графика параболы $y_1 = (x + 2)^2 - 3$. Это парабола с вершиной в точке $(-2, -3)$ и ветвями вверх. Она пересекает ось Ox в точках, где $(x+2)^2 = 3$, то есть $x = -2 \pm \sqrt{3}$. Часть параболы, лежащая ниже оси Ox, отражается симметрично относительно этой оси. В результате вершина $(-2, -3)$ переходит в точку локального максимума $(-2, 3)$, а точки пересечения с осью Ox становятся точками локального минимума.

Проанализируем количество точек пересечения графика $y = |(x + 2)^2 - 3|$ с прямой $y = a$.

1. Если $a < 0$, точек пересечения нет, так как $|(x + 2)^2 - 3| \ge 0$. Корней нет.

2. Если $a = 0$, прямая касается графика в двух точках минимума $x = -2 \pm \sqrt{3}$. Два корня.

3. Если $0 < a < 3$, прямая пересекает график в четырех точках.

4. Если $a = 3$, прямая проходит через локальный максимум $(-2, 3)$ и пересекает ветви параболы. Три корня ($x=-2, x=-2\pm\sqrt{6}$).

5. Если $a > 3$, прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: если $a < 0$ – корней нет; если $a = 0$ или $a > 3$ – два корня; если $a = 3$ – три корня; если $0 < a < 3$ – четыре корня.

Решим уравнение $|(|x| - 2)^2 - 3| = a$ графически. Построим график функции $y = |(|x| - 2)^2 - 3|$.

Построение графика можно выполнить в несколько шагов:
- Строим график параболы $y_0 = (x-2)^2 - 3$ с вершиной в $(2, -3)$.
- Строим график функции $y_1 = (|x|-2)^2 - 3$. Так как эта функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком $y_0$. Таким образом, мы берем правую часть параболы $y_0$ и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получаем W-образный график с локальным максимумом в $(0, 1)$ и двумя минимумами в $(\pm 2, -3)$.
- Строим график $y = |y_1| = |(|x|-2)^2-3|$ путем отражения частей графика $y_1$, лежащих ниже оси Ox, вверх. Минимумы $(\pm 2, -3)$ превратятся в локальные максимумы $(\pm 2, 3)$. Точка $(0, 1)$ остается локальным максимумом (острие). Точки пересечения графика $y_1$ с осью Ox ($x = \pm(2\pm\sqrt{3})$) становятся точками глобального минимума $y=0$.

Ключевые уровни для анализа: $y=0$ (минимумы), $y=1$ (центральный максимум), $y=3$ (боковые максимумы).

Проанализируем количество пересечений графика $y = |(|x| - 2)^2 - 3|$ с прямой $y=a$:

1. Если $a < 0$, корней нет.

2. Если $a = 0$, прямая пересекает график в четырех точках минимума. Четыре корня ($x=\pm(2-\sqrt{3}), x=\pm(2+\sqrt{3})$).

3. Если $0 < a < 1$, прямая пересекает график в восьми точках.

4. Если $a = 1$, прямая проходит через центральный максимум $x=0$ и пересекает график еще в шести точках. Всего семь корней ($x=0, x=\pm(2\pm\sqrt{2}), x=\pm 4$).

5. Если $1 < a < 3$, прямая пересекает график в шести точках.

6. Если $a = 3$, прямая проходит через два боковых максимума и пересекает график еще в двух точках. Четыре корня ($x=\pm 2, x=\pm(2+\sqrt{6})$).

7. Если $a > 3$, прямая пересекает график в двух точках.

Ответ: если $a < 0$ – корней нет; если $a > 3$ – два корня; если $a = 0$ или $a = 3$ – четыре корня; если $1 < a < 3$ – шесть корней; если $a = 1$ – семь корней; если $0 < a < 1$ – восемь корней.