Вопросы?, страница 65 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют обратимой?

2. Сформулируйте теорему об обратимости возрастающей (убывающей) функции.

3. Какие две функции называют взаимно обратными?

4. Как расположены графики взаимно обратных функций?

5. Какой является функция, обратная к возрастающей функции; к убывающей функции?

1. Какую функцию называют обратимой?

Функцию $y=f(x)$, определенную на множестве $X$ и с областью значений $Y$, называют обратимой, если она каждое свое значение $y_0 \in Y$ принимает только в одной точке $x_0 \in X$. Иными словами, любому значению функции соответствует только одно значение аргумента. Такое соответствие между множествами $X$ и $Y$ называется взаимно однозначным. Если для любых двух различных аргументов $x_1 \neq x_2$ из области определения функции значения функции также различны $f(x_1) \neq f(x_2)$, то функция является обратимой.

Ответ: Обратимой называют функцию, которая каждое свое значение принимает ровно один раз.

2. Сформулируйте теорему об обратимости возрастающей (убывающей) функции.

Теорема об обратимости монотонной функции гласит: если функция является строго возрастающей или строго убывающей на некотором промежутке, то она обратима на этом промежутке.

То есть, если для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения функции из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $f(x_1) < f(x_2)$ (строго возрастающая функция) или $f(x_1) > f(x_2)$ (строго убывающая функция), то для данной функции существует обратная.

Ответ: Если функция строго возрастает (или строго убывает) на некотором промежутке, то она обратима на этом промежутке.

3. Какие две функции называют взаимно обратными?

Пусть дана обратимая функция $y = f(x)$ с областью определения $D(f)$ и областью значений $E(f)$. Функция $x = g(y)$, которая каждому $y \in E(f)$ ставит в соответствие такое $x \in D(f)$, что $f(x)=y$, называется обратной к функции $f(x)$.

Две функции $f$ и $g$ называют взаимно обратными, если область определения $f$ совпадает с областью значений $g$, область значений $f$ совпадает с областью определения $g$, и для любого $x$ из области определения $f$ выполняется равенство $g(f(x)) = x$, а для любого $y$ из области определения $g$ выполняется равенство $f(g(y)) = y$.

Ответ: Две функции называют взаимно обратными, если композиция одной с другой дает тождественную функцию, то есть $g(f(x)) = x$ и $f(g(y)) = y$.

4. Как расположены графики взаимно обратных функций?

Графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (где $g$ - обратная к $f$) симметричны друг другу относительно прямой $y=x$, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Это свойство следует из того, что если точка $(a, b)$ принадлежит графику функции $y=f(x)$ (то есть $b=f(a)$), то по определению обратной функции точка $(b, a)$ будет принадлежать графику функции $y=g(x)$ (то есть $a=g(b)$). Точки $(a, b)$ и $(b, a)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

5. Какой является функция, обратная к возрастающей функции; к убывающей функции?

Функция, обратная к строго возрастающей функции, также является строго возрастающей. Если исходная функция $f(x)$ возрастает, то для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$. Тогда для обратной функции $g(y)$ из $y_1 < y_2$ будет следовать $g(y_1) < g(y_2)$.

Аналогично, функция, обратная к строго убывающей функции, также является строго убывающей. Если исходная функция $f(x)$ убывает, то для любых $x_1 < x_2$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$. Тогда для обратной функции $g(y)$ из $y_1 < y_2$ будет следовать $g(y_1) > g(y_2)$ (при этом $y_1 = f(x_2)$ и $y_2 = f(x_1)$).

Ответ: Функция, обратная к возрастающей, является возрастающей; функция, обратная к убывающей, является убывающей.