Номер 7.2, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.2. Докажите, что функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными:

1) $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$, $g(x) = 3x - 1$;

2) $f(x) = \sqrt{x+2}$, $g(x) = x^2 - 2$, $D(g) = [0; +\infty)$.

Для того чтобы доказать, что две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, необходимо показать, что для всех $x$ из соответствующих областей определения выполняются равенства $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Даны функции $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$ и $g(x) = 3x - 1$.

Проверим композицию $f(g(x))$:
$f(g(x)) = f(3x - 1) = \frac{(3x - 1)}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3x - 1 + 1}{3} = \frac{3x}{3} = x$.

Проверим композицию $g(f(x))$:
$g(f(x)) = g(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}) = 3(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}) - 1 = (3 \cdot \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}) - 1 = (x + 1) - 1 = x$.

Поскольку $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ для всех действительных $x$, функции являются взаимно обратными.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Даны функции $f(x) = \sqrt{x + 2}$ и $g(x) = x^2 - 2$ с областью определения $D(g) = [0; +\infty)$.

Сначала определим области определения и множества значений функций.
Для $f(x) = \sqrt{x + 2}$:
Область определения $D(f)$ находится из условия $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. То есть, $D(f) = [-2; +\infty)$.
Множество значений $E(f)$ для арифметического корня — это все неотрицательные числа. То есть, $E(f) = [0; +\infty)$.

Для $g(x) = x^2 - 2$ с $D(g) = [0; +\infty)$:
Область определения задана: $D(g) = [0; +\infty)$.
Множество значений $E(g)$: на промежутке $[0; +\infty)$ функция $x^2$ принимает значения от $0$ до $+\infty$. Значит, $g(x)$ принимает значения от $0^2-2 = -2$ до $+\infty$. То есть, $E(g) = [-2; +\infty)$.

Заметим, что $D(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$, что является необходимым условием для взаимно обратных функций.

Проверим композицию $f(g(x))$ для $x \in D(g)$:
$f(g(x)) = f(x^2 - 2) = \sqrt{(x^2 - 2) + 2} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Так как по условию $x \in [0; +\infty)$, то $x \ge 0$, и следовательно $|x| = x$.
Таким образом, $f(g(x)) = x$.

Проверим композицию $g(f(x))$ для $x \in D(f)$:
$g(f(x)) = g(\sqrt{x + 2}) = (\sqrt{x + 2})^2 - 2$.
Для $x \in [-2; +\infty)$ выражение под корнем неотрицательно, поэтому $(\sqrt{x + 2})^2 = x + 2$.
$g(f(x)) = (x + 2) - 2 = x$.

Поскольку $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ на соответствующих областях определения, функции являются взаимно обратными.
Ответ: Что и требовалось доказать.