Страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.1. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = |x|;$

2) $y = \frac{1}{x^4};$

3) $y = 5;$

4) $y = [x].$

Функция не является обратимой, если она не является взаимно-однозначной (инъективной). Чтобы доказать это, достаточно привести пример двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$, для которых значения функции одинаковы: $f(x_1) = f(x_2)$ при $x_1 \neq x_2$.

1) Для функции $y = |x|$.
Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = |-3| = 3$
$y_2 = |3| = 3$
Поскольку для разных аргументов $x_1$ и $x_2$ значения функции совпадают ($y_1 = y_2$), функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

2) Для функции $y = \frac{1}{x^4}$.
Область определения функции: $x \neq 0$. Возьмем два различных значения аргумента из области определения, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$
$y_2 = \frac{1}{1^4} = \frac{1}{1} = 1$
Так как различным аргументам соответствуют одинаковые значения функции, функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

3) Для функции $y = 5$.
Это постоянная функция, которая любому значению аргумента $x$ ставит в соответствие число 5. Возьмем любые два различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 10$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Значения функции в этих точках равны:
$y_1 = 5$
$y_2 = 5$
Поскольку разным аргументам соответствует одно и то же значение функции, функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

4) Для функции $y = [x]$ (целая часть числа).
Эта функция сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = 3.2$ и $x_2 = 3.9$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = [3.2] = 3$
$y_2 = [3.9] = 3$
Поскольку для разных аргументов $x_1$ и $x_2$ мы получили одинаковые значения функции, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

7.2. Докажите, что функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными:

1) $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$, $g(x) = 3x - 1$;

2) $f(x) = \sqrt{x+2}$, $g(x) = x^2 - 2$, $D(g) = [0; +\infty)$.

Для того чтобы доказать, что две функции $f(x)$ и $g(x)$ являются взаимно обратными, необходимо показать, что для всех $x$ из соответствующих областей определения выполняются равенства $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$.

Даны функции $f(x) = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$ и $g(x) = 3x - 1$.

Проверим композицию $f(g(x))$:
$f(g(x)) = f(3x - 1) = \frac{(3x - 1)}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3x - 1 + 1}{3} = \frac{3x}{3} = x$.

Проверим композицию $g(f(x))$:
$g(f(x)) = g(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}) = 3(\frac{x}{3} + \frac{1}{3}) - 1 = (3 \cdot \frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3}) - 1 = (x + 1) - 1 = x$.

Поскольку $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ для всех действительных $x$, функции являются взаимно обратными.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Даны функции $f(x) = \sqrt{x + 2}$ и $g(x) = x^2 - 2$ с областью определения $D(g) = [0; +\infty)$.

Сначала определим области определения и множества значений функций.
Для $f(x) = \sqrt{x + 2}$:
Область определения $D(f)$ находится из условия $x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$. То есть, $D(f) = [-2; +\infty)$.
Множество значений $E(f)$ для арифметического корня — это все неотрицательные числа. То есть, $E(f) = [0; +\infty)$.

Для $g(x) = x^2 - 2$ с $D(g) = [0; +\infty)$:
Область определения задана: $D(g) = [0; +\infty)$.
Множество значений $E(g)$: на промежутке $[0; +\infty)$ функция $x^2$ принимает значения от $0$ до $+\infty$. Значит, $g(x)$ принимает значения от $0^2-2 = -2$ до $+\infty$. То есть, $E(g) = [-2; +\infty)$.

Заметим, что $D(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$, что является необходимым условием для взаимно обратных функций.

Проверим композицию $f(g(x))$ для $x \in D(g)$:
$f(g(x)) = f(x^2 - 2) = \sqrt{(x^2 - 2) + 2} = \sqrt{x^2} = |x|$.
Так как по условию $x \in [0; +\infty)$, то $x \ge 0$, и следовательно $|x| = x$.
Таким образом, $f(g(x)) = x$.

Проверим композицию $g(f(x))$ для $x \in D(f)$:
$g(f(x)) = g(\sqrt{x + 2}) = (\sqrt{x + 2})^2 - 2$.
Для $x \in [-2; +\infty)$ выражение под корнем неотрицательно, поэтому $(\sqrt{x + 2})^2 = x + 2$.
$g(f(x)) = (x + 2) - 2 = x$.

Поскольку $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$ на соответствующих областях определения, функции являются взаимно обратными.
Ответ: Что и требовалось доказать.

7.3. Докажите, что функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными:

1) $f(x) = 4x + 2, g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2};$

2) $f(x) = (x - 3)^2, D(f) = [3; +\infty), g(x) = \sqrt{x} + 3.$

Чтобы доказать, что функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными, необходимо проверить выполнение двух условий: $f(g(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции $g$, и $g(f(x)) = x$ для всех $x$ из области определения функции $f$.

1) $f(x) = 4x + 2$, $g(x) = \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$

Области определения обеих функций – все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$, $D(g) = \mathbb{R}$).

Проверим первое условие, найдя композицию $f(g(x))$:

$f(g(x)) = 4(g(x)) + 2 = 4(\frac{x}{4} - \frac{1}{2}) + 2 = 4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = x - 2 + 2 = x$.

Проверим второе условие, найдя композицию $g(f(x))$:

$g(f(x)) = \frac{f(x)}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4x + 2}{4} - \frac{1}{2} = \frac{4x}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{2} = x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = x$.

Оба условия выполняются, следовательно, функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными.

Ответ: Доказано.

2) $f(x) = (x - 3)^2$, $D(f) = [3; +\infty)$, $g(x) = \sqrt{x} + 3$

Сначала определим области определения и значений для обеих функций.

Для $f(x)$: Область определения задана: $D(f) = [3; +\infty)$. Поскольку $x \geq 3$, то $x - 3 \geq 0$, и значит $f(x) = (x-3)^2 \geq 0$. Область значений $E(f) = [0; +\infty)$.

Для $g(x)$: Выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. $x \geq 0$. Значит, область определения $D(g) = [0; +\infty)$. Поскольку $\sqrt{x} \geq 0$, то $g(x) = \sqrt{x} + 3 \geq 3$. Область значений $E(g) = [3; +\infty)$.

Условия для обратимости функций ($D(f) = E(g)$ и $E(f) = D(g)$) выполняются.

Проверим первое условие, найдя композицию $f(g(x))$ для $x \in D(g)$, т.е. $x \geq 0$:

$f(g(x)) = (g(x) - 3)^2 = ((\sqrt{x} + 3) - 3)^2 = (\sqrt{x})^2 = x$.

Проверим второе условие, найдя композицию $g(f(x))$ для $x \in D(f)$, т.е. $x \geq 3$:

$g(f(x)) = \sqrt{f(x)} + 3 = \sqrt{(x - 3)^2} + 3 = |x - 3| + 3$.

Так как по условию $x \geq 3$, то выражение $x-3$ является неотрицательным, и, следовательно, $|x - 3| = x - 3$.

$g(f(x)) = (x - 3) + 3 = x$.

Оба условия выполняются на заданных областях определения, следовательно, функции $f$ и $g$ являются взаимно обратными.

Ответ: Доказано.

7.4. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 3x - 1$;

2) $y = \frac{1}{x}$;

3) $y = \frac{1}{2x+1}$.

Чтобы найти функцию, обратную к данной, нужно в уравнении функции поменять местами переменные $x$ и $y$, а затем выразить $y$ через $x$.

1) $y = 3x - 1$

1. Поменяем местами $x$ и $y$:

$x = 3y - 1$

2. Выразим $y$ из полученного уравнения:

$3y = x + 1$

$y = \frac{x + 1}{3}$

Ответ: $y = \frac{x + 1}{3}$

2) $y = \frac{1}{x}$

1. Поменяем местами $x$ и $y$. Область определения исходной функции $x \neq 0$, область значений $y \neq 0$.

$x = \frac{1}{y}$

2. Выразим $y$ из полученного уравнения:

$y \cdot x = 1$

$y = \frac{1}{x}$

В данном случае обратная функция совпадает с исходной.

Ответ: $y = \frac{1}{x}$

3) $y = \frac{1}{2x + 1}$

1. Поменяем местами $x$ и $y$. Область определения исходной функции: $2x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.5$. Область значений: $y \neq 0$.

$x = \frac{1}{2y + 1}$

2. Выразим $y$ из полученного уравнения. Так как $x$ (бывший $y$) не равен 0, можно продолжить:

$x(2y + 1) = 1$

$2y + 1 = \frac{1}{x}$

$2y = \frac{1}{x} - 1$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$2y = \frac{1 - x}{x}$

Разделим обе части на 2:

$y = \frac{1 - x}{2x}$

Ответ: $y = \frac{1-x}{2x}$

7.5. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 0,2x + 3;$

2) $y = \frac{1}{x-1};$

3) $y = \frac{4}{x+2}.$

Чтобы найти функцию, обратную к данной, необходимо выполнить следующие шаги:

1. В исходном уравнении функции $y = f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$.
2. В полученном выражении $x = g(y)$ поменять местами переменные $x$ и $y$. Получившаяся функция $y = g(x)$ и будет обратной к исходной.

1) Дана функция $y = 0,2x + 3$.

Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения:

$y - 3 = 0,2x$

Разделим обе части уравнения на 0,2. Удобнее представить 0,2 в виде дроби $\frac{1}{5}$:

$y - 3 = \frac{1}{5}x$

Умножим обе части на 5:

$5(y - 3) = x$

$x = 5y - 15$

Теперь поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = 5x - 15$

Ответ: $y = 5x - 15$

2) Дана функция $y = \frac{1}{x-1}$.

Выразим $x$ через $y$. Область определения исходной функции: $x \neq 1$. Область значений: $y \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $(x-1)$:

$y(x - 1) = 1$

Разделим обе части на $y$ (это возможно, так как $y \neq 0$):

$x - 1 = \frac{1}{y}$

Перенесем -1 в правую часть:

$x = \frac{1}{y} + 1$

Теперь поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{1}{x} + 1$

Ответ: $y = \frac{1}{x} + 1$

3) Дана функция $y = \frac{4}{x+2}$.

Выразим $x$ через $y$. Область определения исходной функции: $x \neq -2$. Область значений: $y \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $(x+2)$:

$y(x + 2) = 4$

Разделим обе части на $y$ (это возможно, так как $y \neq 0$):

$x + 2 = \frac{4}{y}$

Перенесем 2 в правую часть:

$x = \frac{4}{y} - 2$

Теперь поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{4}{x} - 2$

Ответ: $y = \frac{4}{x} - 2$

7.6. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = 2\sqrt{x} - 1$;

2) $y = x^2, D(y) = (-\infty; 0]$.

1) Дана функция $y = 2\sqrt{x} - 1$.

Для нахождения обратной функции сначала определим область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$ исходной функции.
Область определения $D(y)$: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$. Таким образом, $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений $E(y)$: так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $2\sqrt{x} \ge 0$, и $y = 2\sqrt{x} - 1 \ge -1$. Следовательно, $E(y) = [-1; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения функции:
$y = 2\sqrt{x} - 1$
$y + 1 = 2\sqrt{x}$
$\sqrt{x} = \frac{y + 1}{2}$
Возводим обе части в квадрат. Это преобразование равносильно при условии, что правая часть неотрицательна: $\frac{y+1}{2} \ge 0$, что соответствует $y \ge -1$. Это условие совпадает с найденной областью значений.
$x = \left(\frac{y + 1}{2}\right)^2 = \frac{(y + 1)^2}{4}$

Чтобы получить обратную функцию, меняем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{(x + 1)^2}{4}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции, то есть $x \in [-1; +\infty)$.
Ответ: $y = \frac{(x+1)^2}{4}$ при $x \ge -1$.

2) Дана функция $y = x^2$ с ограниченной областью определения $D(y) = (-\infty; 0]$.

На этом промежутке функция является монотонно убывающей, а значит, имеет обратную функцию.
Найдем область значений $E(y)$ исходной функции. Если $x \in (-\infty; 0]$, то $x^2 \in [0; +\infty)$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2$:
$x^2 = y$
$x = \pm\sqrt{y}$

Поскольку по условию область определения исходной функции $D(y) = (-\infty; 0]$, то есть $x \le 0$, мы должны выбрать корень со знаком "минус":
$x = -\sqrt{y}$

Меняем местами $x$ и $y$ для получения обратной функции:
$y = -\sqrt{x}$
Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \in [0; +\infty)$. Это условие также следует из определения арифметического квадратного корня.
Ответ: $y = -\sqrt{x}$.

7.7. Найдите функцию, обратную к данной:

1) $y = \frac{1}{\sqrt{x}};$

2) $y = \sqrt{x^2-4}, D(y) = [2;+\infty).$

1)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Для того чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить переменную $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами. Для этого сначала определим область определения и область значений исходной функции.

Область определения $D(y)$: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля. Следовательно, $x > 0$, то есть $D(y) = (0; +\infty)$.

Область значений $E(y)$: поскольку $\sqrt{x} > 0$ для всех $x$ из области определения, то и $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ также будет всегда больше нуля. Таким образом, $E(y) = (0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ из уравнения $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Так как $y > 0$, мы можем выполнить следующие преобразования:

$\sqrt{x} = \frac{1}{y}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{y}\right)^2$

$x = \frac{1}{y^2}$

Чтобы получить обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \frac{1}{x^2}$

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции. Следовательно, для обратной функции область определения есть $x \in (0; +\infty)$.

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$, где $x \in (0; +\infty)$.

2)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4}$ с областью определения $D(y) = [2; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции необходимо выразить $x$ через $y$.

Сначала найдем область значений $E(y)$ исходной функции на заданной области определения. Поскольку функция $y(x)$ является возрастающей на промежутке $[2; +\infty)$, ее наименьшее значение достигается в точке $x=2$:

$y_{min} = y(2) = \sqrt{2^2 - 4} = \sqrt{0} = 0$.

При $x \to +\infty$, значение $y$ также стремится к $+\infty$.

Следовательно, область значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.

Теперь выразим $x$ из уравнения $y = \sqrt{x^2 - 4}$.

Так как $y \geq 0$ (по определению арифметического квадратного корня), мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

$y^2 = (\sqrt{x^2 - 4})^2$

$y^2 = x^2 - 4$

$x^2 = y^2 + 4$

$x = \pm\sqrt{y^2 + 4}$

Согласно исходной области определения, $x \in [2; +\infty)$, то есть $x \geq 2$. Это означает, что мы должны выбрать знак "плюс" перед корнем, так как $\sqrt{y^2 + 4}$ всегда положительно.

$x = \sqrt{y^2 + 4}$

Чтобы получить обратную функцию, поменяем местами $x$ и $y$:

$y = \sqrt{x^2 + 4}$

Областью определения обратной функции является область значений исходной функции, то есть $D(y_{обр}) = E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: $y = \sqrt{x^2 + 4}$, где $x \in [0; +\infty)$.

7.8. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = -0.5x + 2;$

2) $y = \sqrt{x + 1};$

3) $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

1)

Дана линейная функция $y = -0,5x + 2$. Ее график — прямая линия. Для нахождения обратной функции необходимо выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами.

$y = -0,5x + 2$
$0,5x = 2 - y$
$x = \frac{2 - y}{0,5}$
$x = 2(2 - y)$
$x = 4 - 2y$

Теперь меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в привычном виде: $y = -2x + 4$. Это также линейная функция, и ее график — прямая.

Для построения графика исходной функции $y = -0,5x + 2$ найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
• Если $y = 0$, то $0 = -0,5x + 2 \Rightarrow 0,5x=2 \Rightarrow x=4$. Точка (4, 0).

Для построения графика обратной функции $y = -2x + 4$ также найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка (0, 4).
• Если $y = 0$, то $0 = -2x + 4 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$. Точка (2, 0).

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = -2x + 4$.

2)

Дана функция $y = \sqrt{x+1}$.

Найдем ее область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$:

• Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Таким образом, $D(y) = [-1; +\infty)$.
• Область значений: значение квадратного корня всегда неотрицательно, т.е. $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$: $y = \sqrt{x+1}$
Возведем обе части в квадрат (это возможно, так как $y \ge 0$):
$y^2 = x+1$
$x = y^2 - 1$

Меняем местами $x$ и $y$: $y = x^2 - 1$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \ge 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $y \ge -1$.

Итак, обратная функция: $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$.

График исходной функции $y = \sqrt{x+1}$ — это ветвь параболы, симметричной оси Ox, с вершиной в точке (-1, 0). График обратной функции $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке (0, -1). Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$.

3)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Найдем обратную функцию для каждого "кусочка" отдельно.

Случай 1: $x \ge 0$.
Функция имеет вид $y = x$. Область определения этого куска: $[0, +\infty)$. Область значений: $[0, +\infty)$. Выразим $x$ через $y$: $x = y$. Меняем переменные: $y = x$. Область определения для этого куска обратной функции совпадает с областью значений исходного, то есть $x \ge 0$. Таким образом, для $x \ge 0$ обратная функция есть $y = x$.

Случай 2: $x < 0$.
Функция имеет вид $y = 2x$. Область определения этого куска: $(-\infty, 0)$. Область значений: $(-\infty, 0)$. Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{2}$. Меняем переменные: $y = \frac{x}{2}$ или $y = 0,5x$. Область определения для этого куска обратной функции совпадает с областью значений исходного, то есть $x < 0$. Таким образом, для $x < 0$ обратная функция есть $y = 0,5x$.

Объединяя оба случая, получаем обратную функцию: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

График исходной функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=2x$ для $x < 0$. График обратной функции также состоит из двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=0,5x$ для $x < 0$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

7.9. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = 3x - 1$;

2) $y = x^2 - 4$, если $x \ge 0$.

1)

Дана функция $y = 3x - 1$. Это линейная функция, её график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• при $x=0$, $y = 3 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• при $x=1$, $y = 3 \cdot 1 - 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.

Теперь найдём функцию, обратную к данной. Для этого выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = 3x - 1$:

$y + 1 = 3x$

$x = \frac{y+1}{3}$

Далее, поменяем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить уравнение обратной функции в стандартном виде:

$y = \frac{x+1}{3}$ или $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.

График обратной функции — это тоже прямая линия. Для её построения также найдём две точки. Можно взять точки, симметричные точкам исходного графика относительно прямой $y=x$ (координаты меняются местами): $(-1, 0)$ и $(2, 1)$.

Проверим их, подставив в уравнение обратной функции:

• при $x=-1$, $y = \frac{-1+1}{3} = 0$. Точка $(-1, 0)$.
• при $x=2$, $y = \frac{2+1}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Точка $(2, 1)$.

Для построения графиков в одной системе координат необходимо:

1. Начертить оси координат $Ox$ и $Oy$.
2. Построить прямую $y = 3x - 1$, проведя её через точки $(0, -1)$ и $(1, 2)$.
3. В этой же системе координат построить прямую $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$, проведя её через точки $(-1, 0)$ и $(2, 1)$.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графиком функции $y=3x-1$ является прямая, проходящая через точки $(0,-1)$ и $(1,2)$. Графиком обратной функции $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$ является прямая, проходящая через точки $(-1,0)$ и $(2,1)$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

2)

Дана функция $y = x^2 - 4$ при условии $x \ge 0$. Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола, смещённая на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Условие $x \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только правую ветвь этой параболы, включая её вершину в точке $(0, -4)$.

Найдём несколько точек для построения графика:

• при $x=0$, $y = 0^2 - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.
• при $x=1$, $y = 1^2 - 4 = -3$. Точка $(1, -3)$.
• при $x=2$, $y = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Теперь найдём функцию, обратную к данной. Выразим $x$ через $y$ из уравнения $y = x^2 - 4$:

$x^2 = y + 4$

$x = \pm\sqrt{y+4}$

Так как по условию дано, что $x \ge 0$, мы выбираем знак «+» перед корнем: $x = \sqrt{y+4}$.

Теперь поменяем местами переменные $x$ и $y$ для получения стандартного вида обратной функции:

$y = \sqrt{x+4}$.

Область определения исходной функции $D(y) = [0, +\infty)$, а область значений $E(y) = [-4, +\infty)$. Для обратной функции они меняются местами: область определения $D(y_{inv}) = [-4, +\infty)$, а область значений $E(y_{inv}) = [0, +\infty)$.

График обратной функции $y = \sqrt{x+4}$ — это график функции $y=\sqrt{x}$, смещённый на 4 единицы влево по оси $Ox$. Найдём несколько точек для его построения, используя симметричные точки исходного графика:

• Точка $(-4, 0)$.
• Точка $(-3, 1)$.
• Точка $(0, 2)$.

Для построения графиков в одной системе координат необходимо:

1. Начертить оси координат.
2. Построить график функции $y = x^2 - 4$ для $x \ge 0$. Это кривая (правая ветвь параболы), выходящая из точки $(0, -4)$ и проходящая через точки $(1, -3)$ и $(2, 0)$.
3. В этой же системе координат построить график функции $y = \sqrt{x+4}$. Это кривая, выходящая из точки $(-4, 0)$ и проходящая через точки $(-3, 1)$ и $(0, 2)$.

Оба графика будут симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Графиком функции $y=x^2-4$ при $x \ge 0$ является правая ветвь параболы с вершиной в точке $(0,-4)$. Графиком обратной функции $y=\sqrt{x+4}$ является кривая (ветвь параболы), выходящая из точки $(-4,0)$ и симметричная исходному графику относительно прямой $y=x$.

7.10. Докажите, что функция, обратная к нечётной функции, также является нечётной.

Пусть функция $y = f(x)$ является нечётной. По определению, это означает, что её область определения, $D(f)$, симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$), и для любого $x \in D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Пусть $g(x)$ — функция, обратная к $f(x)$. Нам нужно доказать, что $g(x)$ также является нечётной. Для этого необходимо проверить, что область определения $g(x)$ симметрична относительно нуля, и что для любого $y$ из этой области выполняется равенство $g(-y) = -g(y)$.

Сначала докажем симметричность области определения $g(x)$. Область определения обратной функции, $D(g)$, совпадает с областью значений исходной функции, $E(f)$. Пусть $y_0$ — произвольный элемент из $E(f)$. Это значит, что существует такое $x_0 \in D(f)$, что $f(x_0) = y_0$. Поскольку $f(x)$ — нечётная, её область определения $D(f)$ симметрична, а значит $-x_0 \in D(f)$. Для этого значения аргумента имеем: $f(-x_0) = -f(x_0) = -y_0$. Это показывает, что значение $-y_0$ также принадлежит области значений $f(x)$, то есть $-y_0 \in E(f)$. Таким образом, область $E(f)$, а следовательно и $D(g)$, симметрична относительно нуля.

Теперь докажем, что $g(-y) = -g(y)$. Пусть $y \in D(g)$ и пусть $g(y) = x$. По определению обратной функции, это равносильно тому, что $f(x) = y$.
Рассмотрим значение $-y$. Так как $y = f(x)$, то $-y = -f(x)$.
Используя свойство нечётности функции $f(x)$, получаем: $-f(x) = f(-x)$.
Следовательно, $-y = f(-x)$.
Применив функцию $g$ к обеим частям этого равенства, получим: $g(-y) = g(f(-x))$.
По свойству взаимно обратных функций, $g(f(z)) = z$. Применяя это свойство, получаем: $g(-y) = -x$.
Так как мы изначально положили, что $x = g(y)$, мы можем подставить это в полученное равенство: $g(-y) = -g(y)$.

Поскольку область определения $g(x)$ симметрична относительно нуля и для любого $y$ из этой области выполняется равенство $g(-y) = -g(y)$, функция $g(x)$ является нечётной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

7.11. Пусть $g$ — функция, обратная к функции $f(x) = x^5 + 6x^3$.

1) Найдите $g(7)$.

2) Решите уравнение $g(x) = -1$.

3) Сколько корней имеет уравнение $g(x) = c$ в зависимости от значения параметра $c$?

Дана функция $f(x) = x^5 + 6x^3$ и обратная к ней функция $g(x)$.

Для решения задачи сначала исследуем свойства функции $f(x)$.

1. Область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, так как это многочлен: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^5 + 6x^3)' = 5x^4 + 18x^2$.

3. Так как степени $x$ в производной четные ($x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$), то производная $f'(x) = 5x^4 + 18x^2 \ge 0$ для всех действительных $x$. Равенство $f'(x) = 0$ достигается только при $x=0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

4. Строго возрастающая функция является взаимно-однозначной, а значит, для нее существует обратная функция $g(x)$.

5. Найдем область значений функции $f(x)$. Поскольку $f(x)$ — непрерывная функция, и $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, а $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, то область значений функции $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения обратной функции $g(x)$ совпадает с областью значений $f(x)$, то есть $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

1) Найдите g(7).

Пусть $g(7) = a$. По определению обратной функции, это равенство эквивалентно тому, что $f(a) = 7$.
Составим и решим уравнение:
$a^5 + 6a^3 = 7$
$a^5 + 6a^3 - 7 = 0$
Легко заметить, что $a=1$ является корнем этого уравнения, так как $1^5 + 6 \cdot 1^3 - 7 = 1 + 6 - 7 = 0$.
Поскольку мы выяснили, что функция $f(x)$ является строго возрастающей, она принимает каждое свое значение ровно один раз. Следовательно, уравнение $f(a) = 7$ имеет единственный корень $a=1$.
Таким образом, $g(7) = 1$.
Ответ: 1

2) Решите уравнение g(x) = -1.

Уравнение $g(x) = -1$ по определению обратной функции эквивалентно равенству $f(-1) = x$.
Найдем значение $x$, вычислив значение функции $f(x)$ в точке $-1$:
$x = f(-1) = (-1)^5 + 6(-1)^3 = -1 + 6(-1) = -1 - 6 = -7$.
Следовательно, решением уравнения является $x = -7$.
Ответ: -7

3) Сколько корней имеет уравнение g(x) = c в зависимости от значения параметра c?

Рассмотрим уравнение $g(x) = c$, где $c$ — это параметр.
Так как $g(x)$ является обратной функцией к $f(x)$, мы можем применить функцию $f$ к обеим частям уравнения:
$f(g(x)) = f(c)$.
По свойству обратных функций, $f(g(x)) = x$. Таким образом, мы получаем:
$x = f(c)$.
Подставив определение функции $f$, найдем явное выражение для $x$:
$x = c^5 + 6c^3$.
Это равенство показывает, что для любого действительного значения параметра $c$ существует ровно одно соответствующее ему значение $x$.
Кроме того, как было показано ранее, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это свойство наследуется и обратной функцией $g(x)$, которая также будет строго возрастающей на своей области определения $(-\infty; +\infty)$. Строго монотонная функция принимает каждое значение из своей области значений ровно один раз. Поскольку область значений $g(x)$ — это все действительные числа, для любого действительного $c$ уравнение $g(x)=c$ будет иметь ровно один корень.
Ответ: при любом значении параметра c уравнение имеет один корень.