Страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.6. Найдите множество решений неравенства:

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0;$

2) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \le 0;$

3) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \ge 0.$

1) $(x^2 + 7x)(x^2 - 7x + 6) < 0$

Разложим на множители каждую из скобок. Для этого найдем корни соответствующих квадратных уравнений.
Первая скобка: $x^2 + 7x = x(x+7)$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -7$.
Вторая скобка: $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Следовательно, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 6$. Тогда $x^2 - 7x + 6 = (x-1)(x-6)$.
Исходное неравенство принимает вид:
$x(x+7)(x-1)(x-6) < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули функции (корни): -7, 0, 1, 6. Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.

Определим знаки на каждом интервале, подставляя любое значение из интервала в выражение:

• При $x > 6$ (например, $x=10$): $(+)(+)(+)(+) > 0$
• При $1 < x < 6$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+)(-) < 0$
• При $0 < x < 1$ (например, $x=0.5$): $(+)(+)(-)(-) > 0$
• При $-7 < x < 0$ (например, $x=-1$): $(-)(+)(-)(-) < 0$
• При $x < -7$ (например, $x=-10$): $(-)(-)(-)(-) > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-7; 0) \cup (1; 6)$.

2) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 36} \le 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель: $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -12. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2 - x - 12 = (x-4)(x+3)$.
Знаменатель: $x^2 - 36 = (x-6)(x+6)$. Корни: $x_3 = 6$ и $x_4 = -6$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(x-4)(x+3)}{(x-6)(x+6)} \le 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя (-3 и 4) будут закрашенными точками, так как неравенство нестрогое. Нули знаменателя (-6 и 6) будут выколотыми точками, так как на ноль делить нельзя.
Отметим на числовой оси точки в порядке возрастания: -6, -3, 4, 6.

Определим знаки на каждом интервале:

• При $x > 6$ (например, $x=10$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $4 \le x < 6$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$
• При $-3 \le x < 4$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
• При $-6 < x \le -3$ (например, $x=-4$): $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$
• При $x < -6$ (например, $x=-10$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-6; -3] \cup [4; 6)$.

3) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{4x^2 - x - 3} \ge 0$

Найдем корни числителя и знаменателя.
Числитель: $3x^2 + 2x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-2-4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Знаменатель: $4x^2 - x - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.
$x_3 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1+7}{8} = \frac{8}{8} = 1$.
$x_4 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1-7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Разложим числитель и знаменатель на множители: $3x^2+2x-1 = 3(x-\frac{1}{3})(x+1) = (3x-1)(x+1)$ и $4x^2-x-3 = 4(x-1)(x+\frac{3}{4}) = (x-1)(4x+3)$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(3x-1)(x+1)}{(x-1)(4x+3)} \ge 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя (-1 и 1/3) — закрашенные точки. Корни знаменателя (-3/4 и 1) — выколотые точки.
Отметим на числовой оси точки в порядке возрастания: -1, -3/4, 1/3, 1.

Определим знаки на каждом интервале:

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $\frac{1}{3} \le x < 1$ (например, $x=0.5$): $\frac{(+)(+)}{(-)(+)} < 0$
• При $-\frac{3}{4} < x \le \frac{1}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
• При $-1 \le x < -\frac{3}{4}$ (например, $x=-0.8$): $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$
• При $x \le -1$ (например, $x=-2$): $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (-0.75; \frac{1}{3}] \cup (1; +\infty)$.

8.7. Решите неравенство:

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0;$

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0.$

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0$

Проанализируем каждый множитель в левой части неравенства. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, выражение $x^2 + 4$ всегда будет положительным, так как $x^2 + 4 \ge 4 > 0$.

Поскольку множитель $(x^2 + 4)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$(2x + 1)(x - 3) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x + 1)(x - 3) = 0$.

$2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_1 = -0.5$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Нанесем эти корни на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения $(2x + 1)(x - 3)$ в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке.

• Интервал $(-\infty; -0.5)$: возьмем $x = -1$. $(2(-1) + 1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4$. Знак "+".
• Интервал $(-0.5; 3)$: возьмем $x = 0$. $(2(0) + 1)(0 - 3) = (1)(-3) = -3$. Знак "−".
• Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x = 4$. $(2(4) + 1)(4 - 3) = (9)(1) = 9$. Знак "+".

Поскольку знак неравенства "<", нас интересует интервал, где произведение отрицательно. Это интервал $(-0.5; 3)$.

Ответ: $x \in (-0.5; 3)$.

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0$

Рассмотрим множитель $(x^2 - x + 1)$. Это квадратичный трехчлен. Найдем его дискриминант, чтобы определить, имеет ли он корни, и какой у него знак. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 - x + 1$ всегда принимает положительные значения для любого действительного $x$.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 - x + 1)$, при этом знак неравенства не изменится:

$(2 - x)(3x + 5) > 0$

Чтобы применить метод интервалов стандартным образом, приведем множитель $(2-x)$ к виду с положительным коэффициентом при $x$. Для этого вынесем $-1$ за скобки:

$-(x - 2)(3x + 5) > 0$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x - 2)(3x + 5) < 0$

Найдем корни уравнения $(x - 2)(3x + 5) = 0$:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x_2 = -5/3$

Нанесем эти корни на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -5/3)$, $(-5/3; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак выражения $(x - 2)(3x + 5)$ в каждом интервале.

• Интервал $(-\infty; -5/3)$: возьмем $x = -2$. $(-2 - 2)(3(-2) + 5) = (-4)(-1) = 4$. Знак "+".
• Интервал $(-5/3; 2)$: возьмем $x = 0$. $(0 - 2)(3(0) + 5) = (-2)(5) = -10$. Знак "−".
• Интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x = 3$. $(3 - 2)(3(3) + 5) = (1)(14) = 14$. Знак "+".

Так как мы решаем неравенство $(x - 2)(3x + 5) < 0$, нас интересует интервал, где произведение отрицательно. Это интервал $(-5/3; 2)$.

Ответ: $x \in (-5/3; 2)$.

8.8. Решите неравенство:

1) $ (x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0; $

2) $ (3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0. $

1) $(x^4 + 1)(5 - 6x)(x - 2) < 0$

Рассмотрим множитель $(x^4 + 1)$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^4 + 1 \ge 1$. Следовательно, выражение $x^4 + 1$ всегда положительно. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное выражение, не меняя знака неравенства:

$(5 - 6x)(x - 2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(5 - 6x)(x - 2) = 0$.

$5 - 6x = 0 \implies 6x = 5 \implies x_1 = \frac{5}{6}$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Отметим эти корни на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; \frac{5}{6})$, $(\frac{5}{6}; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак выражения $(5 - 6x)(x - 2)$ в каждом интервале. Для удобства преобразуем выражение: $(5 - 6x)(x - 2) = -6(x - \frac{5}{6})(x - 2)$. Неравенство принимает вид $-6(x - \frac{5}{6})(x - 2) < 0$. Разделив на $-6$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим: $(x - \frac{5}{6})(x - 2) > 0$.

График функции $y = (x - \frac{5}{6})(x - 2)$ — это парабола с ветвями вверх, которая принимает положительные значения вне своих корней. Таким образом, решением являются интервалы, где $x$ меньше меньшего корня или больше большего корня.

$x < \frac{5}{6}$ или $x > 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{5}{6}) \cup (2; +\infty)$.

2) $(3x^2 - 5x - 2)(2x^2 + x + 1) < 0$

Рассмотрим множитель $(2x^2 + x + 1)$. Это квадратичный трехчлен. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7$. Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, то выражение $2x^2 + x + 1$ всегда положительно при любом значении $x$.

Поскольку множитель $(2x^2 + x + 1)$ всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:

$3x^2 - 5x - 2 < 0$

Теперь решим это квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $3x^2 - 5x - 2 = 0$. Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

График функции $y = 3x^2 - 5x - 2$ — это парабола с ветвями, направленными вверх (так как $a = 3 > 0$). Она принимает отрицательные значения между своими корнями. Следовательно, решение неравенства: $-\frac{1}{3} < x < 2$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 2)$.

8.9. Решите неравенство:

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0$;

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \le 0$;

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0$;

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \ge 0$.

Для решения всех неравенств рассмотрим функцию $f(x) = (x - 4)^2(x^2 - 7x + 10)$ и применим метод интервалов.

Сначала разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 10$. Найдем его корни, решив уравнение $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 10, следовательно, корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.

Таким образом, $x^2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)$.

Теперь функция имеет вид: $f(x) = (x - 4)^2(x - 2)(x - 5)$.

Нулями функции (точками, где $f(x)=0$) являются $x = 2$, $x = 4$ и $x = 5$. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$, $(4, 5)$ и $(5, \infty)$.

Определим знак функции в каждом интервале. Обратим внимание, что множитель $(x - 4)^2$ соответствует корню $x=4$ четной кратности (2), поэтому при переходе через эту точку знак функции не меняется. Корни $x=2$ и $x=5$ имеют нечетную кратность (1), и знак функции при переходе через них будет меняться.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(5, \infty)$, например, $x=6$:

$f(6) = (6 - 4)^2(6 - 2)(6 - 5) = 2^2 \cdot 4 \cdot 1 = 16 > 0$.

Расставим знаки на интервалах, двигаясь справа налево:

• $(5, \infty)$: +
• $(4, 5)$: - (знак сменился при переходе через $x=5$)
• $(2, 4)$: - (знак не сменился при переходе через $x=4$)
• $(-\infty, 2)$: + (знак сменился при переходе через $x=2$)

Теперь, используя эту информацию, решим каждое неравенство.

1) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) < 0$

Требуется найти, где $f(x) < 0$. Согласно нашей схеме знаков, это происходит на интервалах $(2, 4)$ и $(4, 5)$. Так как неравенство строгое, точки, где $f(x)=0$, не включаются.

Ответ: $(2, 4) \cup (4, 5)$.

2) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \leq 0$

Требуется найти, где $f(x) \le 0$. Это включает интервалы, где функция отрицательна, и точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x)<0$: $(2, 4) \cup (4, 5)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=2, x=4, x=5$. Объединяя эти множества, получаем отрезок $[2, 5]$.

Ответ: $[2, 5]$.

3) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) > 0$

Требуется найти, где $f(x) > 0$. Согласно нашей схеме знаков, это происходит на интервалах $(-\infty, 2)$ и $(5, \infty)$. Так как неравенство строгое, точки, где $f(x)=0$, не включаются.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

4) $(x - 4)^2(x^2 - 7x + 10) \geq 0$

Требуется найти, где $f(x) \ge 0$. Это включает интервалы, где функция положительна, и точки, где она равна нулю. Интервалы, где $f(x)>0$: $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$. Точки, где $f(x)=0$: $x=2, x=4, x=5$. Объединяя эти множества, получаем $(-\infty, 2] \cup [5, \infty)$ и отдельно стоящую точку $x=4$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup \{4\} \cup [5, \infty)$.

8.10. Решите неравенство:

1) $(x-3)^2(x^2+x-2) < 0$;

2) $(x-3)^2(x^2+x-2) \le 0$;

3) $(x-3)^2(x^2+x-2) > 0$;

4) $(x-3)^2(x^2+x-2) \ge 0$.

Для решения всех неравенств сначала проанализируем выражение $f(x) = (x-3)^2(x^2+x-2)$.

Оно состоит из двух множителей: $(x-3)^2$ и $(x^2+x-2)$.

Первый множитель $(x-3)^2$ является полным квадратом, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x-3)^2 \ge 0$ для любых $x$. Он равен нулю при $x=3$ и положителен при $x \ne 3$.

Второй множитель $x^2+x-2$ — это квадратичная функция. Найдем её корни, решив уравнение $x^2+x-2=0$.

С помощью дискриминанта $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9$ или по теореме Виета находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Таким образом, $x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$.

График функции $y=x^2+x-2$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому этот множитель положителен при $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$, отрицателен при $x \in (-2; 1)$ и равен нулю при $x = -2$ или $x = 1$.

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x-3)^2(x^2+x-2) < 0$

Произведение будет строго отрицательным, если один множитель положителен, а другой отрицателен. Поскольку множитель $(x-3)^2$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а второй множитель — строго отрицательным.

Это равносильно системе неравенств: $(x-3)^2 > 0$ и $x^2+x-2 < 0$.

Из первого неравенства следует, что $x \ne 3$.

Из второго неравенства следует, что $x \in (-2; 1)$.

Пересечение этих двух условий дает $x \in (-2; 1)$, так как точка $x=3$ не принадлежит этому интервалу.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

2) $(x-3)^2(x^2+x-2) \le 0$

Произведение будет неположительным, если оно меньше нуля или равно нулю.

Случай 1: $(x-3)^2(x^2+x-2) < 0$. Из пункта 1 мы знаем, что решением является $x \in (-2; 1)$.

Случай 2: $(x-3)^2(x^2+x-2) = 0$. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$(x-3)^2=0 \Rightarrow x=3$.

$x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2$ или $x=1$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем интервал $(-2; 1)$ и точки $-2, 1, 3$. Это даёт нам замкнутый промежуток $[-2; 1]$ и отдельную точку $\{3\}$.

Ответ: $x \in [-2; 1] \cup \{3\}$.

3) $(x-3)^2(x^2+x-2) > 0$

Произведение будет строго положительным, если оба множителя строго положительны (так как $(x-3)^2$ не может быть отрицательным).

Это равносильно системе неравенств: $(x-3)^2 > 0$ и $x^2+x-2 > 0$.

Из первого неравенства следует, что $x \ne 3$.

Из второго неравенства следует, что $x \in (-\infty; -2) \cup (1; \infty)$.

Объединяя эти условия, мы должны из множества $(-\infty; -2) \cup (1; \infty)$ исключить точку $x=3$. Точка 3 принадлежит интервалу $(1; \infty)$, поэтому мы "выкалываем" её, разбивая этот интервал на два: $(1; 3)$ и $(3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 3) \cup (3; \infty)$.

4) $(x-3)^2(x^2+x-2) \ge 0$

Произведение будет неотрицательным, если оно больше нуля или равно нулю.

Случай 1: $(x-3)^2(x^2+x-2) > 0$. Из пункта 3 мы знаем, что решением является $x \in (-\infty; -2) \cup (1; 3) \cup (3; \infty)$.

Случай 2: $(x-3)^2(x^2+x-2) = 0$. Из пункта 2 мы знаем, что это происходит при $x \in \{-2, 1, 3\}$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы добавляем точки $-2, 1, 3$ к множеству, где неравенство строгое.

Добавляя точки к интервалам, мы "закрываем" их: $(-\infty; -2]$ и $[1; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1; \infty)$.

8.11. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0;$

2) $\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} \le 0;$

3) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} > 0;$

4) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \ge 0;$

5) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} < 0;$

6) $\frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 2x - 8} \le 0.$

8.12. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + 3x}{x - 5} \ge \frac{28}{x - 5}$;

2) $\frac{1}{x} < 1$;

3) $\frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2}$;

4) $\frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3}$;

5) $\frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1$;

6) $\frac{x - 3}{x + 3} \le \frac{2x - 5}{4x - 3}$.

1)

Исходное неравенство: $ \frac{x^2 + 3x}{x - 5} \ge \frac{28}{x - 5} $.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $ x - 5 \neq 0 $, то есть $ x \neq 5 $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ \frac{x^2 + 3x}{x - 5} - \frac{28}{x - 5} \ge 0 $

Так как знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$ \frac{x^2 + 3x - 28}{x - 5} \ge 0 $

Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $ x^2 + 3x - 28 = 0 $. По теореме Виета, корни уравнения $ x_1 = -7 $ и $ x_2 = 4 $.

Теперь неравенство можно записать в виде:

$ \frac{(x + 7)(x - 4)}{x - 5} \ge 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя ($ -7 $ и $ 4 $) и нуль знаменателя ($ 5 $). Нули числителя будут закрашенными точками, так как неравенство нестрогое, а нуль знаменателя — выколотой.

Точки делят числовую ось на четыре интервала: $ (-\infty; -7] $, $ [-7; 4] $, $ [4; 5) $ и $ (5; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $ x > 5 $ (например, $ x=6 $): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $.
• При $ 4 \le x < 5 $ (например, $ x=4.5 $): $ \frac{(+)(+)}{(-)} < 0 $.
• При $ -7 \le x \le 4 $ (например, $ x=0 $): $ \frac{(+)(-)}{(-)} > 0 $.
• При $ x \le -7 $ (например, $ x=-8 $): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $ [-7; 4] $ и $ (5; +\infty) $.

Ответ: $ x \in [-7, 4] \cup (5, +\infty) $.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{x} < 1 $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{1}{x} - 1 < 0 $

$ \frac{1 - x}{x} < 0 $

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $ 1 - x = 0 \implies x = 1 $. Нуль знаменателя: $ x = 0 $. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое.

Точки $ 0 $ и $ 1 $ делят ось на интервалы: $ (-\infty; 0) $, $ (0; 1) $ и $ (1; +\infty) $.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• При $ x > 1 $ (например, $ x=2 $): $ \frac{-}{+} < 0 $.
• При $ 0 < x < 1 $ (например, $ x=0.5 $): $ \frac{+}{+} > 0 $.
• При $ x < 0 $ (например, $ x=-1 $): $ \frac{+}{-} < 0 $.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $ (-\infty; 0) $ и $ (1; +\infty) $.

Ответ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty) $.

3)

Исходное неравенство: $ \frac{x}{x + 3} > \frac{1}{2} $.

ОДЗ: $ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 $.

Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x}{x + 3} - \frac{1}{2} > 0 $

$ \frac{2x - (x + 3)}{2(x + 3)} > 0 $

$ \frac{2x - x - 3}{2(x + 3)} > 0 $

$ \frac{x - 3}{2(x + 3)} > 0 $

Поскольку $ 2 > 0 $, знак неравенства зависит от $ \frac{x - 3}{x + 3} > 0 $.

Решим методом интервалов. Нуль числителя: $ x = 3 $. Нуль знаменателя: $ x = -3 $. Обе точки выколотые.

Интервалы: $ (-\infty; -3) $, $ (-3; 3) $, $ (3; +\infty) $.

Определим знаки:

• При $ x > 3 $: $ \frac{+}{+} > 0 $.
• При $ -3 < x < 3 $: $ \frac{-}{+} < 0 $.
• При $ x < -3 $: $ \frac{-}{-} > 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $ x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty) $.

4)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{x + 2} < \frac{3}{x - 3} $.

ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq 3 $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{1}{x + 2} - \frac{3}{x - 3} < 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(x - 3) - 3(x + 2)}{(x + 2)(x - 3)} < 0 $

$ \frac{x - 3 - 3x - 6}{(x + 2)(x - 3)} < 0 $

$ \frac{-2x - 9}{(x + 2)(x - 3)} < 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{2x + 9}{(x + 2)(x - 3)} > 0 $

Решим методом интервалов. Нули: $ 2x + 9 = 0 \implies x = -4.5 $; $ x + 2 = 0 \implies x = -2 $; $ x - 3 = 0 \implies x = 3 $. Все точки выколотые.

Интервалы: $ (-\infty; -4.5) $, $ (-4.5; -2) $, $ (-2; 3) $, $ (3; +\infty) $.

Определим знаки:

• При $ x > 3 $: $ \frac{+}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ -2 < x < 3 $: $ \frac{+}{(+)(-)} < 0 $.
• При $ -4.5 < x < -2 $: $ \frac{+}{(-)(-)} > 0 $.
• При $ x < -4.5 $: $ \frac{-}{(-)(-)} < 0 $.

Выбираем интервалы со знаком "+".

Ответ: $ x \in (-4.5, -2) \cup (3, +\infty) $.

5)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} > 1 $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 1 $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} - 1 > 0 $

Приведем к общему знаменателю $ x(x-1) $:

$ \frac{2(x - 1) - x - x(x - 1)}{x(x - 1)} > 0 $

$ \frac{2x - 2 - x - x^2 + x}{x(x - 1)} > 0 $

$ \frac{-x^2 + 2x - 2}{x(x - 1)} > 0 $

Умножим на -1 и сменим знак:

$ \frac{x^2 - 2x + 2}{x(x - 1)} < 0 $

Рассмотрим числитель $ x^2 - 2x + 2 $. Найдем его дискриминант: $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $. Так как $ D < 0 $ и коэффициент при $ x^2 $ положителен ($ a=1 > 0 $), выражение $ x^2 - 2x + 2 $ всегда положительно.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Неравенство равносильно:

$ x(x - 1) < 0 $

Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось в точках $ x=0 $ и $ x=1 $. Она принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, решение: $ 0 < x < 1 $.

Ответ: $ x \in (0, 1) $.

6)

Исходное неравенство: $ \frac{x - 3}{x + 3} \le \frac{2x - 5}{4x - 3} $.

ОДЗ: $ x \neq -3 $ и $ x \neq \frac{3}{4} $.

Перенесем все в левую часть:

$ \frac{x - 3}{x + 3} - \frac{2x - 5}{4x - 3} \le 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{(x - 3)(4x - 3) - (2x - 5)(x + 3)}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Раскроем скобки в числителе:

$ (4x^2 - 3x - 12x + 9) - (2x^2 + 6x - 5x - 15) = (4x^2 - 15x + 9) - (2x^2 + x - 15) = 4x^2 - 15x + 9 - 2x^2 - x + 15 = 2x^2 - 16x + 24 $.

Неравенство принимает вид:

$ \frac{2x^2 - 16x + 24}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Вынесем 2 за скобки в числителе и разделим на 2:

$ \frac{x^2 - 8x + 12}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $ x^2 - 8x + 12 = 0 $ по теореме Виета равны $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 6 $.

$ \frac{(x - 2)(x - 6)}{(x + 3)(4x - 3)} \le 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя (закрашенные точки): $ 2, 6 $. Нули знаменателя (выколотые точки): $ -3, \frac{3}{4} $.

Отметим точки на оси: $ -3, \frac{3}{4}, 2, 6 $.

Определим знаки на интервалах:

• При $ x > 6 $: $ \frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ 2 \le x \le 6 $: $ \frac{(+)(-)}{(+)(+)} < 0 $.
• При $ \frac{3}{4} < x < 2 $: $ \frac{(-)(-)}{(+)(+)} > 0 $.
• При $ -3 < x < \frac{3}{4} $: $ \frac{(-)(-)}{(+)(-)} < 0 $.
• При $ x < -3 $: $ \frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0 $.

Выбираем интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $ x \in (-3, \frac{3}{4}) \cup [2, 6] $.

8.13. Решите неравенство:

1) $ \frac{1}{x+2} \le 1; $

2) $ \frac{x}{x+1} \ge 2; $

3) $ \frac{5x+8}{4-x} < 2; $

4) $ \frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1}. $

1)

Дано неравенство: $ \frac{1}{x+2} \le 1 $.
Перенесем 1 в левую часть неравенства: $ \frac{1}{x+2} - 1 \le 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{1 - (x+2)}{x+2} \le 0 $
$ \frac{1 - x - 2}{x+2} \le 0 $
$ \frac{-x - 1}{x+2} \le 0 $
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $ \frac{x+1}{x+2} \ge 0 $
Решим это неравенство методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя: $ x+1 = 0 \implies x = -1 $ (точка входит в решение, так как неравенство нестрогое).
$ x+2 = 0 \implies x = -2 $ (точка не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю).
Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{x+1}{x+2} $ на полученных интервалах:
- При $ x < -2 $ (например, $ x = -3 $): $ \frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0 $. Знак "+".
- При $ -2 < x < -1 $ (например, $ x = -1.5 $): $ \frac{-1.5+1}{-1.5+2} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0 $. Знак "-".
- При $ x > -1 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0 $. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $ (-\infty; -2) $ и $ [-1; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup [-1; +\infty) $.

2)

Дано неравенство: $ \frac{x}{x+1} \ge 2 $.
Перенесем 2 в левую часть: $ \frac{x}{x+1} - 2 \ge 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{x - 2(x+1)}{x+1} \ge 0 $
$ \frac{x - 2x - 2}{x+1} \ge 0 $
$ \frac{-x - 2}{x+1} \ge 0 $
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства: $ \frac{x+2}{x+1} \le 0 $
Решим методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $ x+2 = 0 \implies x = -2 $ (точка входит в решение).
$ x+1 = 0 \implies x = -1 $ (точка не входит в решение).
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{x+2}{x+1} $:
- При $ x < -2 $ (например, $ x = -3 $): $ \frac{-3+2}{-3+1} = \frac{-1}{-2} > 0 $. Знак "+".
- При $ -2 < x < -1 $ (например, $ x = -1.5 $): $ \frac{-1.5+2}{-1.5+1} = \frac{0.5}{-0.5} < 0 $. Знак "-".
- При $ x > -1 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0+2}{0+1} = 2 > 0 $. Знак "+".
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-"). Это интервал $ [-2; -1) $.
Ответ: $ x \in [-2; -1) $.

3)

Дано неравенство: $ \frac{5x+8}{4-x} < 2 $.
Перенесем 2 в левую часть: $ \frac{5x+8}{4-x} - 2 < 0 $
Приведем к общему знаменателю: $ \frac{5x+8 - 2(4-x)}{4-x} < 0 $
$ \frac{5x+8 - 8 + 2x}{4-x} < 0 $
$ \frac{7x}{4-x} < 0 $
Решим методом интервалов.
Нули числителя и знаменателя: $ 7x = 0 \implies x = 0 $ (точка не входит в решение, так как неравенство строгое).
$ 4-x = 0 \implies x = 4 $ (точка не входит в решение).
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{7x}{4-x} $:
- При $ x < 0 $ (например, $ x = -1 $): $ \frac{7(-1)}{4-(-1)} = \frac{-7}{5} < 0 $. Знак "-".
- При $ 0 < x < 4 $ (например, $ x = 1 $): $ \frac{7(1)}{4-1} = \frac{7}{3} > 0 $. Знак "+".
- При $ x > 4 $ (например, $ x = 5 $): $ \frac{7(5)}{4-5} = -35 < 0 $. Знак "-".
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак "-"). Это интервалы $ (-\infty; 0) $ и $ (4; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty) $.

4)

Дано неравенство: $ \frac{2}{x+3} \ge \frac{1}{x-1} $.
Перенесем все в левую часть: $ \frac{2}{x+3} - \frac{1}{x-1} \ge 0 $
Приведем к общему знаменателю $ (x+3)(x-1) $: $ \frac{2(x-1) - 1(x+3)}{(x+3)(x-1)} \ge 0 $
$ \frac{2x - 2 - x - 3}{(x+3)(x-1)} \ge 0 $
$ \frac{x-5}{(x+3)(x-1)} \ge 0 $
Решим методом интервалов.
Найдем нули числителя и знаменателя: $ x-5 = 0 \implies x = 5 $ (точка входит в решение).
$ x+3 = 0 \implies x = -3 $ (точка не входит в решение).
$ x-1 = 0 \implies x = 1 $ (точка не входит в решение).
Отметим точки -3, 1, 5 на числовой прямой и определим знаки выражения $ \frac{x-5}{(x+3)(x-1)} $ на интервалах:
- При $ x < -3 $ (например, $ x = -4 $): $ \frac{-4-5}{(-4+3)(-4-1)} = \frac{-9}{(-1)(-5)} < 0 $. Знак "-".
- При $ -3 < x < 1 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0-5}{(0+3)(0-1)} = \frac{-5}{-3} > 0 $. Знак "+".
- При $ 1 < x < 5 $ (например, $ x = 2 $): $ \frac{2-5}{(2+3)(2-1)} = \frac{-3}{5} < 0 $. Знак "-".
- При $ x > 5 $ (например, $ x = 6 $): $ \frac{6-5}{(6+3)(6-1)} = \frac{1}{45} > 0 $. Знак "+".
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+"). Это интервалы $ (-3; 1) $ и $ [5; +\infty) $.
Ответ: $ x \in (-3; 1) \cup [5; +\infty) $.

8.14. Решите неравенство:

1) $ (1-3x)^3(x+2)^2(x+4)^5(x-3) > 0; $

2) $ (x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1) \leq 0. $

1)

Решим неравенство $(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули (корни) левой части неравенства, приравняв ее к нулю:
$(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) = 0$.
Корни и их кратность:
$1 - 3x = 0 \implies x_1 = 1/3$ (кратность 3, нечетная).
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ (кратность 2, четная).
$x + 4 = 0 \implies x_3 = -4$ (кратность 5, нечетная).
$x - 3 = 0 \implies x_4 = 3$ (кратность 1, нечетная).

2. Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: $-4, -2, 1/3, 3$. Эти точки разбивают ось на пять интервалов.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Для удобства приведем неравенство к виду, где коэффициент при $x$ в каждой скобке положителен. Множитель $(1 - 3x)^3$ можно переписать как $(-(3x - 1))^3 = -(3x - 1)^3$.
Неравенство принимает вид: $-(3x - 1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$.
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$(3x - 1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) < 0$.

4. Определим знак в крайнем правом интервале $(3, +\infty)$. Возьмем пробную точку, например, $x = 10$. Все множители будут положительны, следовательно, все выражение положительно. Ставим знак «+».

5. Двигаясь справа налево, определим знаки в остальных интервалах. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.
- При переходе через $x = 3$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(1/3, 3)$ имеет знак «-».
- При переходе через $x = 1/3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(-2, 1/3)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = -2$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-4, -2)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = -4$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(-\infty, -4)$ имеет знак «-».

Таким образом, знаки на интервалах распределяются следующим образом: $(-\infty, -4): «-»$; $(-4, -2): «+»$; $(-2, 1/3): «+»$; $(1/3, 3): «-»$; $(3, +\infty): «+»$.

6. Выберем интервалы, удовлетворяющие неравенству $(3x - 1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) < 0$. Это интервалы со знаком «-».
Так как исходное неравенство строгое, концы интервалов не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1/3, 3)$.

2)

Решим неравенство $(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \le 0$.

1. Разложим квадратные трехчлены на множители. Для этого найдем их корни.
- Для $x^2 + 2x - 15 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$. Разложение: $(x+5)(x-3)$.
- Для $x^2 - 4x + 3 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Разложение: $(x-1)(x-3)$.

2. Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3)(x - 1) \le 0$.

3. Сгруппируем одинаковые множители:
$(x + 5)(x - 1)^2(x - 3)^2 \le 0$.

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части:
$x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$ (кратность 1, нечетная).
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (кратность 2, четная).
$x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$ (кратность 2, четная).

5. Нанесем корни на числовую ось: $-5, 1, 3$. Определим знаки на полученных интервалах.
- В крайнем правом интервале $(3, +\infty)$ возьмем $x=4$: $(4+5)(4-1)^2(4-3)^2 > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x = 3$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(1, 3)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = 1$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-5, 1)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = -5$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(-\infty, -5)$ имеет знак «-».

Знаки на интервалах: $(-\infty, -5): «-»$; $(-5, 1): «+»$; $(1, 3): «+»$; $(3, +\infty): «+»$.

6. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
- Выражение меньше нуля ($<0$) на интервале $(-\infty, -5)$.
- Выражение равно нулю ($=0$) в точках $x = -5, x = 1, x = 3$.

Объединяя эти результаты, получаем решение: интервал $(-\infty, -5]$ и две изолированные точки $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup \{1; 3\}$.

8.15. Решите неравенство:

1) $(3 - x)^3 (x + 2)^2 (x - 1)(2x - 5) < 0;$

2) $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \leq 0.$

Решим неравенство $(3 - x)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Для удобства применения метода интервалов преобразуем множитель $(3-x)^3$.
$(3 - x)^3 = (-(x - 3))^3 = -1 \cdot (x - 3)^3$.
Неравенство принимает вид:
$-(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) < 0$.
Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$(x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5) > 0$.
Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 3)^3(x + 2)^2(x - 1)(2x - 5)$.
Найдем нули (корни) функции, решив уравнение $f(x) = 0$:
$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$ (корень кратности 3, нечетной).
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ (корень кратности 2, четной).
$x - 1 = 0 \implies x_3 = 1$ (корень кратности 1, нечетной).
$2x - 5 = 0 \implies x_4 = 2.5$ (корень кратности 1, нечетной).
Отметим нули функции на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут выколотыми.
Нанесем точки в порядке возрастания: $-2, 1, 2.5, 3$.
Определим знак функции $f(x)$ на каждом из полученных интервалов. Начнем с крайнего правого интервала.
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $(4-3)^3(4+2)^2(4-1)(2 \cdot 4-5) > 0$. Ставим знак «+».
- При переходе через корень $x=3$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». Интервал $(2.5; 3)$.
- При переходе через корень $x=2.5$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(1; 2.5)$.
- При переходе через корень $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». Интервал $(-2; 1)$.
- При переходе через корень $x=-2$ (четная кратность) знак не меняется, остается «−». Интервал $(-\infty; -2)$.
Нас интересуют интервалы, где $f(x) > 0$. Это интервалы со знаком «+».
Таким образом, решением неравенства являются $x \in (1; 2.5) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $(1; 2.5) \cup (3; +\infty)$.

Решим неравенство $(x^2 - 4)(x^2 + x - 2) \le 0$.
Разложим квадратные трехчлены на множители.
Первый множитель $x^2 - 4$ является разностью квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
Для второго множителя $x^2 + x - 2$ найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а произведение $-2$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Следовательно, $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.
Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x - 2)(x + 2)(x - 1)(x + 2) \le 0$.
Сгруппируем множители:
$(x + 2)^2(x - 1)(x - 2) \le 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Рассмотрим функцию $g(x) = (x + 2)^2(x - 1)(x - 2)$.
Найдем нули функции, решив уравнение $g(x) = 0$:
$x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$ (корень кратности 2, четной).
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень кратности 1, нечетной).
$x - 2 = 0 \implies x_3 = 2$ (корень кратности 1, нечетной).
Отметим нули функции на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le 0$), все точки будут закрашенными.
Нанесем точки в порядке возрастания: $-2, 1, 2$.
Определим знак функции $g(x)$ на каждом из полученных интервалов.
- При $x > 2$ (например, $x=3$): $(3+2)^2(3-1)(3-2) > 0$. Ставим знак «+».
- При переходе через корень $x=2$ (нечетная кратность) знак меняется на «−». Интервал $(1; 2)$.
- При переходе через корень $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(-2; 1)$.
- При переходе через корень $x=-2$ (четная кратность) знак не меняется, остается «+». Интервал $(-\infty; -2)$.
Нас интересуют промежутки, где $g(x) \le 0$. Это интервал со знаком «−» и точки, где $g(x) = 0$.
Интервал, где $g(x) < 0$, это $(1; 2)$.
Точки, где $g(x) = 0$, это $x = -2, x = 1, x = 2$.
Объединяя, получаем отрезок $[1; 2]$ и изолированную точку $x = -2$.

Ответ: $\{-2\} \cup [1; 2]$.

8.16. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} > 0;$

3) $\frac{x^5 |3x-1|(x+3)}{x-2} \le 0;$

2) $\frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \ge 0;$

4) $\frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \le 0.$

1) $ \frac{(x-2)(2x+1)^3}{(3-x)^4(1-5x)^5} > 0 $

Для решения используем метод интервалов. Сначала преобразуем неравенство. Так как $(3-x)^4 = (x-3)^4 \ge 0$ при любом $x$ (и равен 0 при $x=3$), а знак неравенства строгий ($>0$), мы можем заменить этот множитель на 1, исключив точку $x=3$ из области допустимых значений (ОДЗ). Множители в нечетных степенях $((2x+1)^3$ и $(1-5x)^5)$ можно заменить на те же выражения в первой степени, так как это не влияет на знак дроби.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} \frac{(x-2)(2x+1)}{1-5x} > 0 \\ x \neq 3 \end{cases} $

Приведем множитель $(1-5x)$ к виду с положительным коэффициентом при $x$: $1-5x = -(5x-1)$.

$ \frac{(x-2)(2x+1)}{-(5x-1)} > 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(x-2)(2x+1)}{5x-1} < 0 $

Найдем нули числителя и знаменателя:
$x-2=0 \implies x=2$
$2x+1=0 \implies x=-1/2$
$5x-1=0 \implies x=1/5$

Отметим эти точки ($ -1/2, 1/5, 2 $) на числовой оси. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения в крайнем правом интервале (например, при $x=10$): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -1/2) \rightarrow -$; $(-1/2; 1/5) \rightarrow +$; $(1/5; 2) \rightarrow -$; $(2; +\infty) \rightarrow +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -1/2)$ и $(1/5; 2)$. Условие $x \neq 3$ выполняется, так как эта точка не входит в найденные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1/5; 2)$.

2) $ \frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{(x-1)(x+4)^2} \geq 0 $

Решаем методом интервалов. Множитель $(x+4)^2$ в знаменателе всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=-4$, поэтому ОДЗ: $x \neq -4$. Для всех $x \neq -4$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби. Исключив $x=-4$ из ОДЗ, мы можем упростить неравенство:

$ \frac{(x-3)(5x+2)(x+3)}{x-1} \geq 0 $

Находим нули числителя и знаменателя:
Нули числителя (включаются в решение, так как неравенство нестрогое): $x=3, x=-2/5, x=-3$.
Нули знаменателя (исключаются из решения): $x=1$.

Отмечаем точки $-3, -2/5, 1, 3$ на числовой оси и определяем знаки. При $x>3$ все множители положительны, значит, на интервале $(3; +\infty)$ выражение положительно. Далее знаки чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3] \rightarrow +$; $[-3; -2/5] \rightarrow -$; $[-2/5; 1) \rightarrow +$; $(1; 3] \rightarrow -$; $[3; +\infty) \rightarrow +$.

Выбираем интервалы со знаком "+", включая концы, которые являются нулями числителя: $(-\infty; -3] \cup [-2/5; 1) \cup [3; +\infty)$.

Теперь учтем ОДЗ $x \neq -4$. Точка $x=-4$ попадает в первый интервал. Окончательное решение получается путем исключения этой точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3] \cup [-2/5; 1) \cup [3; +\infty)$.

3) $ \frac{x^5 |3x-1|(x+3)}{x-2} \leq 0 $

Множитель $|3x-1|$ всегда неотрицателен ($|3x-1| \geq 0$). Рассмотрим два случая.
1) Левая часть неравенства равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен.
$x^5=0 \implies x=0$
$|3x-1|=0 \implies x=1/3$
$x+3=0 \implies x=-3$
Все эти значения являются решениями, так как неравенство нестрогое ($\leq 0$).

2) Левая часть неравенства строго меньше нуля.
$ \frac{x^5 |3x-1|(x+3)}{x-2} < 0 $
Для этого $x \neq 1/3$, и тогда $|3x-1| > 0$. Можем разделить неравенство на этот положительный множитель.
$ \frac{x^5(x+3)}{x-2} < 0 $
Так как показатель степени $x^5$ нечетный, знак $x^5$ совпадает со знаком $x$. Неравенство равносильно:
$ \frac{x(x+3)}{x-2} < 0 $
Решаем методом интервалов. Нули: $x=-3, x=0, x=2$.
При $x>2$ выражение положительно. Далее знаки чередуются.
Знаки на интервалах: $(-\infty; -3) \rightarrow -$; $(-3; 0) \rightarrow +$; $(0; 2) \rightarrow -$; $(2; +\infty) \rightarrow +$.
Выбираем интервалы со знаком "-": $(-\infty; -3) \cup (0; 2)$.

Объединяем решения из обоих случаев: $\{ -3, 0, 1/3 \} \cup (-\infty; -3) \cup (0; 2)$.
Это дает нам $(-\infty; -3] \cup [0; 2)$. Точка $x=1/3$ уже входит в интервал $[0; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [0; 2)$.

4) $ \frac{(2-x)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \leq 0 $

Преобразуем неравенство, чтобы коэффициент при $x$ в множителе $(2-x)$ был положительным: $2-x = -(x-2)$.

$ \frac{-(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \leq 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3(x+1)^2} \geq 0 $

Решаем полученное неравенство методом интервалов.
Множитель $(x+1)^2$ в знаменателе всегда неотрицателен. ОДЗ: $x \neq -1$. Для $x \neq -1$ этот множитель положителен и не влияет на знак дроби.
Неравенство (с учетом $x \neq -1$) равносильно:

$ \frac{(x-2)(4x+3)}{(x-3)^3} \geq 0 $

Поскольку показатель степени $(x-3)^3$ нечетный, знак $(x-3)^3$ совпадает со знаком $(x-3)$. Неравенство равносильно:

$ \frac{(x-2)(4x+3)}{x-3} \geq 0 $

Нули числителя (включаются в решение): $x=2, x=-3/4$.
Нуль знаменателя (исключается): $x=3$.

Отмечаем точки $-3/4, 2, 3$ на числовой оси. При $x>3$ все множители положительны, значит, выражение положительно. Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty; -3/4] \rightarrow -$; $[-3/4; 2] \rightarrow +$; $[2; 3) \rightarrow -$; $(3; +\infty) \rightarrow +$.

Выбираем интервалы со знаком "+": $[-3/4; 2] \cup (3; +\infty)$.

Учтем ОДЗ $x \neq -1$. Точка $x=-1$ не попадает в найденное множество решений, поэтому ничего менять не нужно.

Ответ: $x \in [-3/4; 2] \cup (3; +\infty)$.