Страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем?

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — чётное натуральное число.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

1. Какую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем?

Степенной функцией с натуральным показателем называют функцию, которую можно задать формулой вида $y=x^n$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $n$ — заданное натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), которое называют показателем степени.
Ответ: Функцию, заданную формулой $y=x^n$, где $n$ — натуральное число, называют степенной функцией с натуральным показателем.

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — чётное натуральное число.

Пусть $n$ — чётное натуральное число, то есть $n = 2k$, где $k \in \mathbb{N}$. Основные свойства функции $y=x^n$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех неотрицательных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Чётность: функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = x^n = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет точку минимума, $y_{min} = y(0) = 0$. Наибольшего значения функция не имеет.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (числом 0), но не ограничена сверху.

Ответ: Свойства функции $y=x^n$ для чётного натурального $n$: область определения — все действительные числа; область значений — все неотрицательные числа; функция чётная; убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$; имеет минимум в точке $x=0$, равный 0.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^n$, где $n$ — нечётное натуральное число.

Пусть $n$ — нечётное натуральное число, то есть $n = 2k - 1$, где $k \in \mathbb{N}$. Основные свойства функции $y=x^n$:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Чётность: функция является нечётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^n = -x^n = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при $x > 0$ и отрицательные значения ($y < 0$) при $x < 0$.
• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения.
• Экстремумы: функция не имеет точек экстремума.
• Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

Ответ: Свойства функции $y=x^n$ для нечётного натурального $n$: область определения — все действительные числа; область значений — все действительные числа; функция нечётная; возрастает на всей области определения; не имеет экстремумов.

9.1. Функция задана формулой $f(x) = x^{19}$. Сравните:

1) $f(-7,6)$ и $f(-8,5)$;

2) $f(-6,9)$ и $f(6,9)$;

3) $f(0,2)$ и $f(-12).

Дана функция $f(x) = x^{19}$. Показатель степени 19 является нечетным числом, поэтому данная функция обладает следующими свойствами:

• Функция является возрастающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
• Функция является нечетной. Это означает, что $f(-x) = (-x)^{19} = -x^{19} = -f(x)$ для любого $x$.

1) f(-7,6) и f(-8,5)

Воспользуемся свойством возрастания функции. Для этого сначала сравним аргументы: $-7,6$ и $-8,5$.

Так как $-7,6 > -8,5$, а функция $f(x)$ является возрастающей, то значения функции будут находиться в том же соотношении: $f(-7,6) > f(-8,5)$.

Ответ: $f(-7,6) > f(-8,5)$.

2) f(-6,9) и f(6,9)

Воспользуемся свойством нечетности функции: $f(-x) = -f(x)$.

Применив это свойство, получим $f(-6,9) = -f(6,9)$. Теперь нам нужно сравнить $-f(6,9)$ и $f(6,9)$.

Так как аргумент $6,9$ — положительное число ($6,9 > 0$), то его 19-я степень также будет положительной: $f(6,9) = (6,9)^{19} > 0$.

Следовательно, $-f(6,9)$ является отрицательным числом.

Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-f(6,9) < f(6,9)$, а значит $f(-6,9) < f(6,9)$.

Ответ: $f(-6,9) < f(6,9)$.

3) f(0,2) и f(-12)

Определим знаки значений функции в заданных точках.

Значение $f(0,2) = (0,2)^{19}$. Так как основание степени ($0,2$) положительно, то и результат будет положительным: $f(0,2) > 0$.

Значение $f(-12) = (-12)^{19}$. Так как основание степени ($-12$) отрицательно, а показатель степени (19) нечетный, результат будет отрицательным: $f(-12) < 0$.

Сравниваем положительное число $f(0,2)$ и отрицательное число $f(-12)$. Любое положительное число больше любого отрицательного, поэтому $f(0,2) > f(-12)$.

Ответ: $f(0,2) > f(-12)$.

9.2. Функция задана формулой $f(x) = x^{50}$. Сравните:

1) $f(-1,1)$ и $f(-1,2)$;

2) $f(19)$ и $f(-19)$;

3) $f(-7)$ и $f(9)$.

Функция задана формулой $f(x) = x^{50}$. Поскольку показатель степени 50 является четным числом, данная функция является четной, то есть $f(-x) = f(x)$ для любого $x$. Кроме того, эта функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

1) Сравним $f(-1,1)$ и $f(-1,2)$.
Вычислим значения функции. Так как показатель степени 50 — четный, отрицательный знак у основания можно убрать:
$f(-1,1) = (-1,1)^{50} = 1,1^{50}$.
$f(-1,2) = (-1,2)^{50} = 1,2^{50}$.
Теперь сравним $1,1^{50}$ и $1,2^{50}$. Поскольку основания степеней положительны и $1,1 < 1,2$, то и $1,1^{50} < 1,2^{50}$.
Следовательно, $f(-1,1) < f(-1,2)$.
Ответ: $f(-1,1) < f(-1,2)$.

2) Сравним $f(19)$ и $f(-19)$.
Так как функция $f(x) = x^{50}$ является четной, то по определению четной функции $f(-x) = f(x)$.
Для $x=19$ получаем $f(-19) = f(19)$.
Вычисление это подтверждает: $f(-19) = (-19)^{50} = 19^{50} = f(19)$.
Ответ: $f(19) = f(-19)$.

3) Сравним $f(-7)$ и $f(9)$.
Вычислим значения функции:
$f(-7) = (-7)^{50} = 7^{50}$.
$f(9) = 9^{50}$.
Сравним $7^{50}$ и $9^{50}$. Поскольку основания степеней положительны и $7 < 9$, то $7^{50} < 9^{50}$.
Следовательно, $f(-7) < f(9)$.
Ответ: $f(-7) < f(9)$.

9.3. Следует ли из неравенства $x_1^n > x_2^n$, что $x_1 > x_2$, если:

1) n — чётное;

2) n — нечётное?

1) n – чётное;

Нет, не следует. Если показатель степени $n$ является чётным числом, функция $y = x^n$ не является монотонной на всей своей области определения (множестве всех действительных чисел). Она убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$. Это означает, что из неравенства $x_1^n > x_2^n$ не всегда следует, что $x_1 > x_2$.

Чтобы доказать это, достаточно привести контрпример. Пусть $n=2$ (чётное число), $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Проверим исходное неравенство $x_1^n > x_2^n$:

$(-3)^2 > 2^2$

$9 > 4$ (верно).

Теперь проверим, выполняется ли при этом неравенство $x_1 > x_2$:

$-3 > 2$ (неверно).

Так как мы нашли случай, когда из истинного неравенства $x_1^n > x_2^n$ не следует истинность неравенства $x_1 > x_2$, то данное утверждение для чётных $n$ неверно.

Ответ: нет, не следует.

2) n – нечётное?

Да, следует. Если показатель степени $n$ является нечётным числом, функция $y = x^n$ является строго возрастающей на всей своей области определения. По определению, для строго возрастающей функции, для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ неравенство $x_1 > x_2$ равносильно неравенству $f(x_1) > f(x_2)$, то есть $x_1^n > x_2^n$.

Следовательно, если выполняется неравенство $x_1^n > x_2^n$, то из него однозначно следует, что $x_1 > x_2$.

Ответ: да, следует.

9.4. Следует ли из неравенства $x_1 > x_2$, что $x_1^n > x_2^n$, если:

1) n — чётное;

2) n — нечётное?

1) n — чётное;

Нет, не следует. Утверждение, что из $x_1 > x_2$ следует $x_1^n > x_2^n$ для чётного $n$, в общем случае неверно. Это связано с тем, что функция $y=x^n$ при чётном натуральном $n$ не является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для опровержения утверждения достаточно привести один контрпример.

Пусть $n=2$ (чётное число). Выберем $x_1=1$ и $x_2=-2$.

Неравенство $x_1 > x_2$ выполняется, так как $1 > -2$.

Теперь возведём оба числа в степень $n=2$:
$x_1^n = 1^2 = 1$
$x_2^n = (-2)^2 = 4$

Сравнивая результаты, получаем $1 < 4$, то есть $x_1^n < x_2^n$.

Таким образом, мы нашли случай, когда из $x_1 > x_2$ не следует $x_1^n > x_2^n$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, не следует.

2) n — нечётное?

Да, следует. Если $n$ — нечётное натуральное число, то функция $y=x^n$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых действительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ всегда следует неравенство $x_1^n > x_2^n$.

Докажем это, рассмотрев все возможные случаи расположения $x_1$ и $x_2$ относительно нуля.

Случай 1: $x_1 > x_2 \ge 0$.
В этом случае оба числа неотрицательны. При возведении в любую натуральную степень $n$ большего неотрицательного числа мы получаем больший результат. Таким образом, $x_1^n > x_2^n$.

Случай 2: $x_1 > 0 > x_2$.
В этом случае $x_1$ — положительное число, а $x_2$ — отрицательное. При возведении положительного числа в любую натуральную степень $n$ результат будет положительным ($x_1^n > 0$). При возведении отрицательного числа в нечётную степень $n$ результат будет отрицательным ($x_2^n < 0$). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому $x_1^n > x_2^n$.

Случай 3: $0 \ge x_1 > x_2$.
В этом случае оба числа отрицательны (или $x_1=0$). Введем новые переменные: $y_1 = -x_2$ и $y_2 = -x_1$. Из условия $x_1 > x_2$ следует, что $-x_2 > -x_1$, а значит $y_1 > y_2 \ge 0$. Согласно случаю 1, для неотрицательных чисел верно $y_1^n > y_2^n$. Подставим обратно наши переменные:
$(-x_2)^n > (-x_1)^n$
Так как $n$ — нечётное число, то $(-a)^n = -a^n$. Получаем:
$-x_2^n > -x_1^n$
Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$x_2^n < x_1^n$, что эквивалентно $x_1^n > x_2^n$.

Таким образом, во всех возможных случаях из $x_1 > x_2$ следует $x_1^n > x_2^n$, если $n$ — нечётное.

Ответ: да, следует.

9.5. Постройте график функции:

1) $y = |x|x^4$;

2) $y = |x|x^4 + x^5$.

1) Постройте график функции $y = |x|x^4$.

Для построения графика функции, содержащей модуль, раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, по определению модуля, $|x| = x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = x \cdot x^4 = x^5$.

Таким образом, для всех неотрицательных значений $x$ (в правой полуплоскости, включая ось $Oy$) график нашей функции совпадает с графиком функции $y = x^5$. Это степенная функция, ее график проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, по определению модуля, $|x| = -x$. Подставим это в уравнение функции:

$y = (-x) \cdot x^4 = -x^5$.

Таким образом, для всех отрицательных значений $x$ (в левой полуплоскости) график нашей функции совпадает с графиком функции $y = -x^5$. Этот график симметричен графику $y = x^5$ относительно оси $Ox$. Он проходит через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 32)$.

Построение графика:

Объединим результаты. График функции $y = |x|x^4$ состоит из двух частей:

• ветвь графика $y = x^5$ при $x \ge 0$;
• ветвь графика $y = -x^5$ при $x < 0$.

Можно заметить, что полученная функция является четной, так как $y(-x) = |-x|(-x)^4 = |x|x^4 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$). График похож на параболу $y=x^4$, но более "плоский" у начала координат и растет быстрее при $|x| > 1$.

Ответ: График функции $y = |x|x^4$ представляет собой график функции $y = x^5$ для $x \ge 0$ и график функции $y = -x^5$ для $x < 0$. График симметричен относительно оси $Oy$, проходит через начало координат и всегда неотрицателен ($y \ge 0$).

2) Постройте график функции $y = |x|x^4 + x^5$.

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Подставляем в уравнение:

$y = x \cdot x^4 + x^5 = x^5 + x^5 = 2x^5$.

Следовательно, при $x \ge 0$ график искомой функции совпадает с графиком функции $y = 2x^5$. Это график функции $y = x^5$, растянутый в 2 раза вдоль оси $Oy$. Он проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 2)$.

Случай 2: $x < 0$.

При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Подставляем в уравнение:

$y = (-x) \cdot x^4 + x^5 = -x^5 + x^5 = 0$.

Следовательно, для всех отрицательных значений $x$ функция принимает значение 0. Графиком на этом участке является луч, совпадающий с отрицательной частью оси абсцисс ($Ox$).

Построение графика:

Объединяем полученные части:

• При $x < 0$ график функции — это луч $y = 0$.
• В точке $x=0$ значение функции $y=2(0)^5=0$.
• При $x > 0$ график функции — это кривая $y = 2x^5$.

Таким образом, график состоит из луча, лежащего на оси $Ox$ для всех $x < 0$, и кривой $y = 2x^5$, выходящей из начала координат в первом квадранте.

Ответ: График функции $y = |x|x^4 + x^5$ представляет собой луч $y=0$ при $x < 0$, который в точке $(0,0)$ переходит в график функции $y = 2x^5$ при $x \ge 0$.

9.6. Постройте график функции:

1) $y = |x|x^3;$

2) $y = |x|x^4 - x^5.$

1) $y = |x|x^3$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. По определению модуля числа:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Разобьем нашу функцию на два случая:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:
$y = x \cdot x^3 = x^4$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:
$y = (-x) \cdot x^3 = -x^4$.

Таким образом, для построения графика нам нужно построить график функции $y = x^4$ для всех неотрицательных $x$ и график функции $y = -x^4$ для всех отрицательных $x$.

График $y = x^4$ при $x \ge 0$ — это ветвь кривой, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 16)$.

График $y = -x^4$ при $x < 0$ — это ветвь кривой, проходящая через точки $(-1, -(-1)^4) = (-1, -1)$, $(-2, -(-2)^4) = (-2, -16)$.

Объединяя эти две части, получаем итоговый график.

Ответ: График функции $y = |x|x^3$ представляет собой объединение графика функции $y = x^4$ на промежутке $[0, +\infty)$ и графика функции $y = -x^4$ на промежутке $(-\infty, 0)$.

2) $y = |x|x^4 - x^5$

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:
$y = x \cdot x^4 - x^5 = x^5 - x^5 = 0$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:
$y = (-x) \cdot x^4 - x^5 = -x^5 - x^5 = -2x^5$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x^5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Построим график этой функции.

Для всех $x \ge 0$ график функции совпадает с прямой $y=0$. Это луч, который начинается в точке $(0,0)$ и совпадает с положительной полуосью абсцисс.

Для всех $x < 0$ мы строим график функции $y = -2x^5$. Это кривая, проходящая через вторую и третью координатные четверти. Для построения найдем несколько точек:
при $x = -1$, $y = -2(-1)^5 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
при $x = -2$, $y = -2(-2)^5 = -2(-32) = 64$. Точка $(-2, 64)$.
при $x \to 0^-$, $y \to 0$. График подходит к началу координат.

Итоговый график состоит из луча $y=0$ при $x \ge 0$ и ветви кривой $y=-2x^5$ при $x < 0$.

Ответ: График функции $y = |x|x^4 - x^5$ представляет собой объединение луча $y=0$ на промежутке $[0, +\infty)$ и графика функции $y=-2x^5$ на промежутке $(-\infty, 0)$.