Страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Какую функцию называют степенной функцией с целым показателем?

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где $n$ — чётное натуральное число.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где $n$ — нечётное натуральное число.

1. Какую функцию называют степенной функцией с целым показателем?

Степенной функцией с целым показателем называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = x^p$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $p$ — заданное целое число (показатель). Целые числа включают натуральные числа, им противоположные и ноль ($p \in \mathbb{Z}$).

Ответ: Степенная функция с целым показателем — это функция вида $y = x^p$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$).

2. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где n – чётное натуральное число.

Рассмотрим функцию $y = x^{-n}$, которую можно записать как $y = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$). Основные свойства этой функции:

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^n \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область определения функции — все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Поскольку $n$ — чётное натуральное число, $x^n$ всегда будет положительным числом для любого $x \neq 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^n}$ также всегда будет положительным. Область значений функции — все положительные действительные числа: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Чётность: Функция является чётной. Проверим: $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n}$. Так как $n$ — чётное, $(-x)^n = x^n$. Поэтому $f(-x) = \frac{1}{x^n} = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: Функция не имеет нулей, так как дробь $\frac{1}{x^n}$ не может быть равна нулю.
• Промежутки монотонности:
  • На промежутке $(-\infty; 0)$ функция возрастает.
  • На промежутке $(0; +\infty)$ функция убывает.
• Экстремумы: Функция не имеет точек максимума и минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось OY).
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось OX).

Ответ: Основные свойства функции $y = x^{-n}$ для чётного натурального $n$: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$, функция чётная, нулей не имеет, возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$, не имеет экстремумов, асимптоты — $x=0$ и $y=0$.

3. Сформулируйте свойства функции $y = x^{-n}$, где n – нечётное натуральное число.

Рассмотрим функцию $y = x^{-n}$, или $y = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — нечётное натуральное число (например, $n=1, 3, 5, \dots$). Основные свойства этой функции:

• Область определения: Аналогично предыдущему случаю, $x \neq 0$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Если $x > 0$, то $x^n > 0$, и $y > 0$. Если $x < 0$, то, поскольку $n$ нечётное, $x^n < 0$, и $y < 0$. Область значений — все действительные числа, кроме нуля: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Чётность: Функция является нечётной. Проверим: $f(-x) = (-x)^{-n} = \frac{1}{(-x)^n}$. Так как $n$ — нечётное, $(-x)^n = -x^n$. Поэтому $f(-x) = \frac{1}{-x^n} = - \frac{1}{x^n} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: Функция не имеет нулей.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на всей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: Функция не имеет точек максимума и минимума.
• Асимптоты:
  • Вертикальная асимптота: прямая $x=0$ (ось OY).
  • Горизонтальная асимптота: прямая $y=0$ (ось OX).

Ответ: Основные свойства функции $y = x^{-n}$ для нечётного натурального $n$: область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция нечётная, нулей не имеет, убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, не имеет экстремумов, асимптоты — $x=0$ и $y=0$.

10.1. Дана функция $f(x) = x^{-25}$. Сравните:

1) $f(18)$ и $f(16)$;

2) $f(-42)$ и $f(2,5)$;

3) $f(-32)$ и $f(-28)$.

Дана функция $f(x) = x^{-25}$, которую можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{25}}$. Для того чтобы сравнить значения функции, исследуем её на монотонность. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-25})' = -25x^{-26} = -\frac{25}{x^{26}}$. Поскольку $x^{26}$ (степень с четным показателем) всегда положителен для любого $x \neq 0$, то производная $f'(x)$ всегда отрицательна на всей области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. Для убывающей функции справедливо, что если $x_1 < x_2$ (где $x_1$ и $x_2$ принадлежат одному промежутку монотонности), то $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $f(18)$ и $f(16)$;

Аргументы 18 и 16 принадлежат промежутку $(0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает. Поскольку $16 < 18$, то из свойства убывающей функции следует, что $f(16) > f(18)$.

Ответ: $f(18) < f(16)$.

2) $f(-42)$ и $f(2,5)$;

Аргументы -42 и 2,5 принадлежат разным промежуткам области определения. В этом случае нужно определить знаки значений функции. При $x = -42$ (отрицательное число), значение $f(-42) = \frac{1}{(-42)^{25}}$. Так как показатель степени 25 нечетный, знаменатель $(-42)^{25}$ будет отрицательным, а значит и вся дробь будет отрицательной: $f(-42) < 0$. При $x = 2,5$ (положительное число), значение $f(2,5) = \frac{1}{2,5^{25}}$ будет положительным. То есть, $f(2,5) > 0$. Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, получаем $f(-42) < f(2,5)$.

Ответ: $f(-42) < f(2,5)$.

3) $f(-32)$ и $f(-28)$.

Аргументы -32 и -28 принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. На этом промежутке функция $f(x)$ также убывает. Поскольку $-32 < -28$, то из свойства убывающей функции следует, что $f(-32) > f(-28)$.

Ответ: $f(-32) > f(-28)$.

10.2. Функция задана формулой $f(x) = x^{-40}$. Сравните:

1) $f(-1,6)$ и $f(-1,7)$;

2) $f(24)$ и $f(-24)$;

3) $f(-8)$ и $f(6)$.

Дана функция $f(x) = x^{-40}$. Для сравнения значений функции в различных точках, проанализируем её свойства. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$.

Свойства функции $f(x) = x^{-40}$

1. Четность. Показатель степени $-40$ является четным числом. Поэтому функция является четной, то есть $f(-x) = (-x)^{-40} = \frac{1}{(-x)^{40}} = \frac{1}{x^{40}} = f(x)$. Это означает, что для противоположных значений аргумента значения функции равны.
2. Монотонность.
   • При $x > 0$ (на промежутке $(0, +\infty)$), функция $y = x^{40}$ является возрастающей. Следовательно, обратная ей функция $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$ является убывающей. Это значит, что если $0 < x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
   • При $x < 0$ (на промежутке $(-\infty, 0)$), функция $y = x^{40}$ является убывающей. Следовательно, обратная ей функция $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$ является возрастающей. Это значит, что если $x_1 < x_2 < 0$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Используя эти свойства, выполним сравнение.

1) $f(-1,6)$ и $f(-1,7)$

Аргументы $-1,6$ и $-1,7$ находятся на промежутке $(-\infty, 0)$. На этом промежутке функция $f(x)$ возрастает. Сравним аргументы: $-1,7 < -1,6$. Так как функция возрастающая, большему значению аргумента $(-1,6)$ соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(-1,7) < f(-1,6)$.

Ответ: $f(-1,6) > f(-1,7)$.

2) $f(24)$ и $f(-24)$

Функция $f(x) = x^{-40}$ является четной, поэтому для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. При $x = 24$, получаем $f(24) = f(-24)$.

Ответ: $f(24) = f(-24)$.

3) $f(-8)$ и $f(6)$

Используем свойство четности функции: $f(-8) = f(8)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(8)$ и $f(6)$. Аргументы $8$ и $6$ находятся на промежутке $(0, +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает. Сравним аргументы: $6 < 8$. Так как функция убывающая, меньшему значению аргумента ($6$) соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(6) > f(8)$. Поскольку $f(8) = f(-8)$, то $f(6) > f(-8)$.

Ответ: $f(-8) < f(6)$.

10.3. Найдите область определения функции:

1) $y = (x^{-1})^{-1}$;

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$.

1) $y = (x^{-1})^{-1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

Данная функция является сложной. Для нахождения области определения нужно учесть все ограничения, накладываемые операциями в выражении.

Рассмотрим внутреннюю операцию: $x^{-1}$. Это выражение по определению равно $\frac{1}{x}$. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Отсюда получаем первое условие:

$x \neq 0$

Теперь рассмотрим внешнюю операцию: возведение результата, то есть $x^{-1}$, в степень $-1$. Обозначим $u = x^{-1}$. Тогда функция примет вид $y = u^{-1}$, что равно $\frac{1}{u}$. Это выражение не определено, если $u = 0$. Отсюда получаем второе условие:

$u \neq 0$, или $x^{-1} \neq 0$.

Выражение $\frac{1}{x}$ равно нулю только в том случае, если числитель равен нулю. Так как числитель равен 1, то выражение $\frac{1}{x}$ никогда не равно нулю. Поэтому второе условие не накладывает новых ограничений на $x$.

Единственным ограничением является $x \neq 0$. Следует заметить, что хотя формальное упрощение выражения дает $y = (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = x^1 = x$, область определения функции находится по ее исходной, неупрощенной форме. Поскольку в исходной форме присутствует операция $x^{-1}$, которая не определена при $x=0$, это значение должно быть исключено из области определения.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$

Для нахождения области определения этой функции проанализируем последовательно все операции.

1. Самое внутреннее выражение — это $x-2$. Оно определено для любого действительного числа $x$.

2. Следующая операция — возведение выражения $(x-2)$ в степень $-2$. Выражение $(x-2)^{-2}$ эквивалентно $\frac{1}{(x-2)^2}$. Эта операция определена только в том случае, если знаменатель не равен нулю:

$(x-2)^2 \neq 0$

Из этого следует, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

3. Внешняя операция — возведение результата в степень $-2$. Обозначим $v = (x-2)^{-2}$. Тогда функция примет вид $y = v^{-2}$, что эквивалентно $\frac{1}{v^2}$. Эта операция определена, если знаменатель $v^2$ не равен нулю, что означает $v \neq 0$.

Подставим обратно выражение для $v$:

$(x-2)^{-2} \neq 0$

$\frac{1}{(x-2)^2} \neq 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 1, поэтому дробь никогда не может быть равна нулю. Следовательно, это условие выполняется для всех $x$, при которых выражение определено (то есть при $x \neq 2$).

Таким образом, единственное ограничение на переменную $x$ — это $x \neq 2$. Несмотря на то, что выражение можно упростить до $y = ((x-2)^{-2})^{-2} = (x-2)^{(-2) \cdot (-2)} = (x-2)^4$, и полученный многочлен определен при любом $x$, область определения исходной функции должна учитывать все промежуточные вычисления. Операция $(x-2)^{-2}$ не определена при $x=2$, поэтому это значение должно быть исключено.

Область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

10.4. Постройте график функции:

1) $y = (x - 2)^0$;

2) $y = (x^2 - 4x + 3)^0$;

3) $y = \left(\frac{1}{x+1}\right)^{-1}$.

1) $y = (x-2)^0$

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Выражение $0^0$ не определено. Поэтому, чтобы функция была определена, ее основание не должно равняться нулю.
Найдем область определения функции (ОДЗ):
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Для всех значений $x$ из области определения, функция принимает значение 1. То есть, $y = 1$ при $x \neq 2$.
Графиком данной функции является прямая линия $y=1$, параллельная оси Ox, из которой исключена ("выколота") точка, абсцисса которой равна 2. Координаты этой точки $(2; 1)$.
Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(2; 1)$.

2) $y = (x^2 - 4x + 3)^0$

Аналогично предыдущему пункту, основание степени не должно быть равно нулю.
Найдем область определения функции:
$x^2 - 4x + 3 \neq 0$
Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Значит, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.
Для всех $x$ из области определения, значение функции равно 1. То есть, $y = 1$ при $x \neq 1$ и $x \neq 3$.
Графиком данной функции является прямая линия $y=1$, параллельная оси Ox, с двумя выколотыми точками, абсциссы которых равны 1 и 3. Координаты этих точек $(1; 1)$ и $(3; 1)$.
Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(3; 1)$.

3) $y = \left(\frac{1}{x+1}\right)^{-1}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$y = \frac{1}{\frac{1}{x+1}}$
Упростив это выражение, получаем:
$y = x+1$
Теперь найдем область определения исходной функции. В выражении $\frac{1}{x+1}$ знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Также само основание степени $\frac{1}{x+1}$ не может быть равно нулю для степени с отрицательным показателем. Это условие выполняется всегда, так как дробь с числителем 1 никогда не равна нулю.
Таким образом, функция эквивалентна $y = x+1$ при условии $x \neq -1$.
Графиком является прямая линия $y=x+1$ с выколотой точкой при $x = -1$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=-1$ в уравнение прямой:
$y = -1 + 1 = 0$
Координаты выколотой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: График функции — прямая $y=x+1$ с выколотой точкой $(-1; 0)$.

10.5. Постройте график уравнения:

1) $(y+2)^0 = x-2;$

2) $(y-2)^0 = (x+1)^0.$

1) $(y + 2)^0 = x - 2$

Выражение $a^0$ определено и равно 1 для любого ненулевого числа $a$. Следовательно, левая часть уравнения имеет смысл только при условии, что основание степени не равно нулю.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$y + 2 \neq 0$
$y \neq -2$

При выполнении этого условия $(y + 2)^0 = 1$, и уравнение принимает вид:
$1 = x - 2$
$x = 3$

Таким образом, графиком уравнения является прямая $x = 3$, из которой исключена точка, не входящая в ОДЗ. Найдем координаты этой точки: $x = 3$ и $y = -2$. Это точка $(3; -2)$.

Ответ: Графиком уравнения является вертикальная прямая $x = 3$ с выколотой точкой $(3; -2)$.

2) $(y - 2)^0 = (x + 1)^0$

Как и в предыдущем задании, выражение в нулевой степени определено только для ненулевого основания. Поэтому для данного уравнения должны выполняться два условия одновременно.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} y - 2 \neq 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} y \neq 2 \\ x \neq -1 \end{cases}$

При выполнении этих условий левая и правая части уравнения равны 1, и уравнение превращается в тождество:
$1 = 1$

Это равенство верно для любых значений $x$ и $y$, удовлетворяющих ОДЗ. Следовательно, графиком уравнения является вся координатная плоскость, за исключением точек, для которых $y = 2$ или $x = -1$.

Ответ: Графиком уравнения является вся координатная плоскость, из которой исключены (выколоты) прямые $y = 2$ и $x = -1$.

10.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-6}$ на промежутке:

1) $\left[\frac{1}{2}; 1\right]$;2) $\left[-1; -\frac{1}{2}\right]$;3) $[1; +\infty)$;4) $[-1; 0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^{-6}$, которую можно записать как $f(x) = \frac{1}{x^6}$. Мы ищем ее наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[\frac{1}{2}; 1]$.
Для анализа поведения функции найдем ее производную:
$f'(x) = (x^{-6})' = -6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$.
На промежутке $[\frac{1}{2}; 1]$ все значения $x$ положительны, следовательно $x^7 > 0$. Тогда производная $f'(x) = -\frac{6}{x^7}$ будет отрицательной ($f'(x) < 0$). Это означает, что функция $f(x)$ является убывающей на данном промежутке.
Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его начале (в левой границе), а наименьшее — в его конце (в правой границе).
Вычислим значения на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-6} = 2^6 = 64$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Ответ: Наибольшее значение равно 64, наименьшее значение равно 1.

2) Рассмотрим промежуток $[-1; -\frac{1}{2}]$.
На этом промежутке все значения $x$ отрицательны, следовательно $x^7 < 0$. Тогда производная $f'(x) = -\frac{6}{x^7}$ будет положительной ($f'(x) > 0$), так как мы делим отрицательное число (-6) на отрицательное ($x^7$). Это означает, что функция $f(x)$ является возрастающей на данном промежутке.
Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его начале (в левой границе), а наибольшее — в его конце (в правой границе).
Вычислим значения на концах отрезка:
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = (-1)^{-6} = \frac{1}{(-1)^6} = 1$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-6} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^6} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$.
Ответ: Наибольшее значение равно 64, наименьшее значение равно 1.

3) Рассмотрим промежуток $[1; +\infty)$.
На этом промежутке, как и в пункте 1, все значения $x$ положительны, поэтому функция $f(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, то есть в точке $x=1$.
$f_{наиб} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Поскольку промежуток неограничен справа, мы должны проанализировать поведение функции при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^6} = 0$.
Функция стремится к 0, но никогда не достигает этого значения (так как $\frac{1}{x^6} > 0$ для всех $x$). Следовательно, наименьшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшего значения не существует.

4) Рассмотрим промежуток $[-1; 0)$.
На этом промежутке, как и в пункте 2, все значения $x$ отрицательны (кроме 0, который не входит в область определения), поэтому функция $f(x)$ является возрастающей.
Наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка, то есть в точке $x=-1$.
$f_{наим} = f(-1) = (-1)^{-6} = 1$.
Поскольку правая граница промежутка это точка разрыва $x=0$, мы должны проанализировать поведение функции при $x \to 0^-$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^6}$.
При $x \to 0^-$, знаменатель $x^6 \to 0^+$ (стремится к нулю, оставаясь положительным). Следовательно, значение дроби неограниченно возрастает.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^6} = +\infty$.
Так как функция неограничена сверху, наибольшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: Наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.