Номер 10.4, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.4. Постройте график функции:

1) $y = (x - 2)^0$;

2) $y = (x^2 - 4x + 3)^0$;

3) $y = \left(\frac{1}{x+1}\right)^{-1}$.

1) $y = (x-2)^0$

По определению степени с нулевым показателем, любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Выражение $0^0$ не определено. Поэтому, чтобы функция была определена, ее основание не должно равняться нулю.
Найдем область определения функции (ОДЗ):
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
Для всех значений $x$ из области определения, функция принимает значение 1. То есть, $y = 1$ при $x \neq 2$.
Графиком данной функции является прямая линия $y=1$, параллельная оси Ox, из которой исключена ("выколота") точка, абсцисса которой равна 2. Координаты этой точки $(2; 1)$.
Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотой точкой $(2; 1)$.

2) $y = (x^2 - 4x + 3)^0$

Аналогично предыдущему пункту, основание степени не должно быть равно нулю.
Найдем область определения функции:
$x^2 - 4x + 3 \neq 0$
Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.
Значит, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; 3) \cup (3; +\infty)$.
Для всех $x$ из области определения, значение функции равно 1. То есть, $y = 1$ при $x \neq 1$ и $x \neq 3$.
Графиком данной функции является прямая линия $y=1$, параллельная оси Ox, с двумя выколотыми точками, абсциссы которых равны 1 и 3. Координаты этих точек $(1; 1)$ и $(3; 1)$.
Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками $(1; 1)$ и $(3; 1)$.

3) $y = \left(\frac{1}{x+1}\right)^{-1}$

Используем свойство степени с отрицательным показателем: $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$y = \frac{1}{\frac{1}{x+1}}$
Упростив это выражение, получаем:
$y = x+1$
Теперь найдем область определения исходной функции. В выражении $\frac{1}{x+1}$ знаменатель не может быть равен нулю, то есть $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Также само основание степени $\frac{1}{x+1}$ не может быть равно нулю для степени с отрицательным показателем. Это условие выполняется всегда, так как дробь с числителем 1 никогда не равна нулю.
Таким образом, функция эквивалентна $y = x+1$ при условии $x \neq -1$.
Графиком является прямая линия $y=x+1$ с выколотой точкой при $x = -1$. Найдем ординату этой точки, подставив $x=-1$ в уравнение прямой:
$y = -1 + 1 = 0$
Координаты выколотой точки: $(-1; 0)$.
Ответ: График функции — прямая $y=x+1$ с выколотой точкой $(-1; 0)$.