Номер 9.13, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^6$ на промежутке $[a; 2]$, где $a < 2$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^6$ на замкнутом промежутке $[a, 2]$, где $a < 2$, необходимо исследовать её поведение.

Сначала найдём производную функции: $f'(x) = (x^6)' = 6x^5$.

Затем найдём критические точки, приравняв производную к нулю: $6x^5 = 0$, откуда получаем единственную критическую точку $x = 0$.

Проанализируем знак производной: при $x < 0$ производная $f'(x)$ отрицательна, следовательно, функция $f(x)$ убывает; при $x > 0$ производная $f'(x)$ положительна, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. Таким образом, $x=0$ является точкой глобального минимума функции $f(x)$.

Теперь рассмотрим расположение промежутка $[a, 2]$ относительно точки $x=0$. Поскольку по условию $a < 2$, возможны следующие случаи.

Случай 1: $0 < a < 2$

В этом случае весь промежуток $[a, 2]$ находится на области возрастания функции. Следовательно, наименьшее значение достигается в левой точке промежутка, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $f(a) = a^6$.
Наибольшее значение: $f(2) = 2^6 = 64$.

Случай 2: $a \le 0$

В этом случае точка минимума $x=0$ принадлежит промежутку $[a, 2]$.

Наименьшее значение на промежутке будет равно значению функции в точке минимума:
Наименьшее значение: $f(0) = 0^6 = 0$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов промежутка $[a, 2]$, то есть будет равно $\max(f(a), f(2))$. Сравним $f(a) = a^6$ и $f(2) = 64$. Так как функция $f(x)=x^6$ является чётной, её значение зависит от модуля аргумента. Наибольшее значение будет в той точке ($a$ или $2$), которая дальше от нуля.
- Если $a < -2$, то $|a| > 2$, и, следовательно, $a^6 = |a|^6 > 2^6 = 64$. Наибольшее значение равно $a^6$.
- Если $-2 \le a \le 0$, то $|a| \le 2$, и, следовательно, $a^6 = |a|^6 \le 2^6 = 64$. Наибольшее значение равно $64$.

Объединяя полученные результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ:
Наименьшее значение функции:
- равно $a^6$, если $0 < a < 2$;
- равно $0$, если $a \le 0$.
Наибольшее значение функции:
- равно $a^6$, если $a < -2$;
- равно $64$, если $-2 \le a < 2$.