Номер 9.10, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.10. Решите уравнение:

1) $x^{11} + x^3 = 2$;

2) $2x^4 + x^{10} = 3$.

1) $x^{11} + x^3 = 2$

Перепишем уравнение в виде $x^{11} + x^3 - 2 = 0$.

Легко заметить, что $x=1$ является корнем уравнения, так как при подстановке этого значения в уравнение мы получаем верное равенство:

$1^{11} + 1^3 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$.

Чтобы доказать, что этот корень является единственным, рассмотрим функцию $f(x) = x^{11} + x^3 - 2$.

Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^{11} + x^3 - 2)' = 11x^{10} + 3x^2$.

Проанализируем знак производной. Так как $x^{10} \geq 0$ и $x^2 \geq 0$ для любых действительных значений $x$, то $11x^{10} \geq 0$ и $3x^2 \geq 0$.

Следовательно, $f'(x) = 11x^{10} + 3x^2 \geq 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

Производная равна нулю только в одной точке: $x=0$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. принимать значение 0) не более одного раза. Поскольку мы уже нашли один корень $x=1$, других действительных корней у уравнения нет.

Ответ: $1$.

2) $2x^4 + x^{10} = 3$

Перепишем уравнение в виде $x^{10} + 2x^4 - 3 = 0$.

Методом подбора можно найти два корня.

При $x=1$: $1^{10} + 2 \cdot 1^4 - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.

При $x=-1$: $(-1)^{10} + 2 \cdot (-1)^4 - 3 = 1 + 2 \cdot 1 - 3 = 0$. Значит, $x=-1$ также является корнем.

Для того чтобы выяснить, есть ли у уравнения другие корни, рассмотрим функцию $g(x) = x^{10} + 2x^4 - 3$.

Найдем ее производную:

$g'(x) = (x^{10} + 2x^4 - 3)' = 10x^9 + 8x^3 = 2x^3(5x^6 + 4)$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю: $2x^3(5x^6 + 4) = 0$.

Выражение $5x^6 + 4$ всегда положительно, так как $x^6 \geq 0$. Следовательно, производная обращается в ноль только при $x^3=0$, то есть при $x=0$.

Определим знаки производной на интервалах:

• При $x < 0$, $x^3 < 0$, поэтому $g'(x) < 0$. Функция $g(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0)$.
• При $x > 0$, $x^3 > 0$, поэтому $g'(x) > 0$. Функция $g(x)$ возрастает на промежутке $(0, \infty)$.

Таким образом, в точке $x=0$ функция $g(x)$ имеет точку минимума. Значение функции в этой точке: $g(0) = 0^{10} + 2 \cdot 0^4 - 3 = -3$.

На промежутке $(-\infty, 0)$ функция $g(x)$ строго убывает от $+\infty$ до $-3$. Значит, она может принять значение $0$ только один раз. Мы нашли этот корень: $x=-1$.

На промежутке $(0, \infty)$ функция $g(x)$ строго возрастает от $-3$ до $+\infty$. Значит, она может принять значение $0$ только один раз. Мы нашли этот корень: $x=1$.

Следовательно, других действительных корней, кроме $x=1$ и $x=-1$, у уравнения нет.

Ответ: $-1; 1$.