Номер 9.14, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.14. Решите уравнение $5x^{17} - 3x^8 = 2.$

Данное уравнение $5x^{17} - 3x^8 = 2$ является алгебраическим уравнением высокой степени. Решим его, сначала найдя очевидные корни, а затем доказав их единственность.

Методом подбора легко проверить, что $x=1$ является корнем уравнения. Подставим $x=1$ в исходное выражение: $5 \cdot 1^{17} - 3 \cdot 1^8 = 5 - 3 = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит $x=1$ — корень.

Чтобы доказать, что этот корень единственный, рассмотрим функцию $f(x) = 5x^{17} - 3x^8 - 2$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x)=0$. Для этого исследуем функцию с помощью её производной.

Найдём производную: $f'(x) = (5x^{17} - 3x^8 - 2)' = 85x^{16} - 24x^7$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(x) = 0$, то есть $85x^{16} - 24x^7 = 0$. Вынесем $x^7$ за скобки: $x^7(85x^9 - 24) = 0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$.

Проанализируем знак производной на интервалах. При $x < 0$ производная $f'(x) > 0$, следовательно, функция $f(x)$ возрастает. При $0 < x < \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$ производная $f'(x) < 0$, и функция убывает. При $x > \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$ производная $f'(x) > 0$, и функция снова возрастает.

Рассмотрим поведение функции. В точке $x=0$ находится локальный максимум, $f(0) = -2$. На всём промежутке $(-\infty, 0]$ функция возрастает от $-\infty$ до $-2$, поэтому $f(x) \le -2$ и корней здесь нет. Далее, на промежутке $[0, \sqrt[9]{\frac{24}{85}}]$ функция убывает от $f(0)=-2$, поэтому $f(x) < -2$ и корней здесь также нет. Наконец, на промежутке $[\sqrt[9]{\frac{24}{85}}, +\infty)$ функция монотонно возрастает от своего локального минимума (значение которого меньше -2) до $+\infty$. Это означает, что на этом промежутке функция пересекает ось абсцисс ровно один раз.

Поскольку мы уже знаем, что $x=1$ является корнем, и $1 > \sqrt[9]{\frac{24}{85}}$, то именно этот корень и является единственным решением на последнем промежутке, а значит, и для всего уравнения.

Ответ: $1$.