Номер 10.1, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.1. Дана функция $f(x) = x^{-25}$. Сравните:

1) $f(18)$ и $f(16)$;

2) $f(-42)$ и $f(2,5)$;

3) $f(-32)$ и $f(-28)$.

Дана функция $f(x) = x^{-25}$, которую можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{25}}$. Для того чтобы сравнить значения функции, исследуем её на монотонность. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (x^{-25})' = -25x^{-26} = -\frac{25}{x^{26}}$. Поскольку $x^{26}$ (степень с четным показателем) всегда положителен для любого $x \neq 0$, то производная $f'(x)$ всегда отрицательна на всей области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$. Для убывающей функции справедливо, что если $x_1 < x_2$ (где $x_1$ и $x_2$ принадлежат одному промежутку монотонности), то $f(x_1) > f(x_2)$.

1) $f(18)$ и $f(16)$;

Аргументы 18 и 16 принадлежат промежутку $(0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает. Поскольку $16 < 18$, то из свойства убывающей функции следует, что $f(16) > f(18)$.

Ответ: $f(18) < f(16)$.

2) $f(-42)$ и $f(2,5)$;

Аргументы -42 и 2,5 принадлежат разным промежуткам области определения. В этом случае нужно определить знаки значений функции. При $x = -42$ (отрицательное число), значение $f(-42) = \frac{1}{(-42)^{25}}$. Так как показатель степени 25 нечетный, знаменатель $(-42)^{25}$ будет отрицательным, а значит и вся дробь будет отрицательной: $f(-42) < 0$. При $x = 2,5$ (положительное число), значение $f(2,5) = \frac{1}{2,5^{25}}$ будет положительным. То есть, $f(2,5) > 0$. Так как любое отрицательное число меньше любого положительного, получаем $f(-42) < f(2,5)$.

Ответ: $f(-42) < f(2,5)$.

3) $f(-32)$ и $f(-28)$.

Аргументы -32 и -28 принадлежат промежутку $(-\infty; 0)$. На этом промежутке функция $f(x)$ также убывает. Поскольку $-32 < -28$, то из свойства убывающей функции следует, что $f(-32) > f(-28)$.

Ответ: $f(-32) > f(-28)$.