Номер 10.2, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.2. Функция задана формулой $f(x) = x^{-40}$. Сравните:

1) $f(-1,6)$ и $f(-1,7)$;

2) $f(24)$ и $f(-24)$;

3) $f(-8)$ и $f(6)$.

Дана функция $f(x) = x^{-40}$. Для сравнения значений функции в различных точках, проанализируем её свойства. Функцию можно представить в виде $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$.

Свойства функции $f(x) = x^{-40}$

1. Четность. Показатель степени $-40$ является четным числом. Поэтому функция является четной, то есть $f(-x) = (-x)^{-40} = \frac{1}{(-x)^{40}} = \frac{1}{x^{40}} = f(x)$. Это означает, что для противоположных значений аргумента значения функции равны.
2. Монотонность.
   • При $x > 0$ (на промежутке $(0, +\infty)$), функция $y = x^{40}$ является возрастающей. Следовательно, обратная ей функция $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$ является убывающей. Это значит, что если $0 < x_1 < x_2$, то $f(x_1) > f(x_2)$.
   • При $x < 0$ (на промежутке $(-\infty, 0)$), функция $y = x^{40}$ является убывающей. Следовательно, обратная ей функция $f(x) = \frac{1}{x^{40}}$ является возрастающей. Это значит, что если $x_1 < x_2 < 0$, то $f(x_1) < f(x_2)$.

Используя эти свойства, выполним сравнение.

1) $f(-1,6)$ и $f(-1,7)$

Аргументы $-1,6$ и $-1,7$ находятся на промежутке $(-\infty, 0)$. На этом промежутке функция $f(x)$ возрастает. Сравним аргументы: $-1,7 < -1,6$. Так как функция возрастающая, большему значению аргумента $(-1,6)$ соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(-1,7) < f(-1,6)$.

Ответ: $f(-1,6) > f(-1,7)$.

2) $f(24)$ и $f(-24)$

Функция $f(x) = x^{-40}$ является четной, поэтому для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(x) = f(-x)$. При $x = 24$, получаем $f(24) = f(-24)$.

Ответ: $f(24) = f(-24)$.

3) $f(-8)$ и $f(6)$

Используем свойство четности функции: $f(-8) = f(8)$. Теперь задача сводится к сравнению $f(8)$ и $f(6)$. Аргументы $8$ и $6$ находятся на промежутке $(0, +\infty)$. На этом промежутке функция $f(x)$ убывает. Сравним аргументы: $6 < 8$. Так как функция убывающая, меньшему значению аргумента ($6$) соответствует большее значение функции. Следовательно, $f(6) > f(8)$. Поскольку $f(8) = f(-8)$, то $f(6) > f(-8)$.

Ответ: $f(-8) < f(6)$.