Номер 10.6, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^{-6}$ на промежутке:

1) $\left[\frac{1}{2}; 1\right]$;2) $\left[-1; -\frac{1}{2}\right]$;3) $[1; +\infty)$;4) $[-1; 0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^{-6}$, которую можно записать как $f(x) = \frac{1}{x^6}$. Мы ищем ее наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[\frac{1}{2}; 1]$.
Для анализа поведения функции найдем ее производную:
$f'(x) = (x^{-6})' = -6x^{-7} = -\frac{6}{x^7}$.
На промежутке $[\frac{1}{2}; 1]$ все значения $x$ положительны, следовательно $x^7 > 0$. Тогда производная $f'(x) = -\frac{6}{x^7}$ будет отрицательной ($f'(x) < 0$). Это означает, что функция $f(x)$ является убывающей на данном промежутке.
Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в его начале (в левой границе), а наименьшее — в его конце (в правой границе).
Вычислим значения на концах отрезка:
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{-6} = 2^6 = 64$.
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Ответ: Наибольшее значение равно 64, наименьшее значение равно 1.

2) Рассмотрим промежуток $[-1; -\frac{1}{2}]$.
На этом промежутке все значения $x$ отрицательны, следовательно $x^7 < 0$. Тогда производная $f'(x) = -\frac{6}{x^7}$ будет положительной ($f'(x) > 0$), так как мы делим отрицательное число (-6) на отрицательное ($x^7$). Это означает, что функция $f(x)$ является возрастающей на данном промежутке.
Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его начале (в левой границе), а наибольшее — в его конце (в правой границе).
Вычислим значения на концах отрезка:
Наименьшее значение: $f_{наим} = f(-1) = (-1)^{-6} = \frac{1}{(-1)^6} = 1$.
Наибольшее значение: $f_{наиб} = f(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^{-6} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^6} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$.
Ответ: Наибольшее значение равно 64, наименьшее значение равно 1.

3) Рассмотрим промежуток $[1; +\infty)$.
На этом промежутке, как и в пункте 1, все значения $x$ положительны, поэтому функция $f(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение функция принимает в левой границе промежутка, то есть в точке $x=1$.
$f_{наиб} = f(1) = 1^{-6} = 1$.
Поскольку промежуток неограничен справа, мы должны проанализировать поведение функции при $x \to +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^6} = 0$.
Функция стремится к 0, но никогда не достигает этого значения (так как $\frac{1}{x^6} > 0$ для всех $x$). Следовательно, наименьшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: Наибольшее значение равно 1, наименьшего значения не существует.

4) Рассмотрим промежуток $[-1; 0)$.
На этом промежутке, как и в пункте 2, все значения $x$ отрицательны (кроме 0, который не входит в область определения), поэтому функция $f(x)$ является возрастающей.
Наименьшее значение функция принимает в левой границе промежутка, то есть в точке $x=-1$.
$f_{наим} = f(-1) = (-1)^{-6} = 1$.
Поскольку правая граница промежутка это точка разрыва $x=0$, мы должны проанализировать поведение функции при $x \to 0^-$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^6}$.
При $x \to 0^-$, знаменатель $x^6 \to 0^+$ (стремится к нулю, оставаясь положительным). Следовательно, значение дроби неограниченно возрастает.
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^6} = +\infty$.
Так как функция неограничена сверху, наибольшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: Наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.