Номер 11.2, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.2. Найдите значение выражения:

1) $(-\sqrt[6]{11})^6$;

2) $\left(\frac{1}{3} \sqrt[3]{45}\right)^3$;

3) $\frac{1}{3} \sqrt[3]{45^3}$;

4) $(-2\sqrt[5]{-5})^5$.

1) $(-\sqrt[6]{11})^6$

При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. Таким образом, $(-\sqrt[6]{11})^6 = (\sqrt[6]{11})^6$.

По основному свойству корня n-й степени, для любого неотрицательного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$.

В данном случае $n=6$ и $a=11$, поэтому:

$(\sqrt[6]{11})^6 = 11$.

Ответ: 11

2) $(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3$

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить, то есть $(ab)^n = a^n b^n$.

$(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45})^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (\sqrt[3]{45})^3$.

Вычислим значение каждого множителя:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$.

По определению кубического корня, $(\sqrt[3]{45})^3 = 45$.

Теперь перемножим полученные значения:

$\frac{1}{27} \cdot 45 = \frac{45}{27}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 9:

$\frac{45}{27} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$

3) $\frac{1}{3}\sqrt[3]{45^3}$

Для любого действительного числа $a$ и любого нечетного натурального числа $n > 1$ справедливо равенство $\sqrt[n]{a^n} = a$.

В нашем выражении $n=3$ (нечетное число) и $a=45$. Следовательно:

$\sqrt[3]{45^3} = 45$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\frac{1}{3} \cdot 45 = \frac{45}{3} = 15$.

Ответ: 15

4) $(-2\sqrt[5]{-5})^5$

Используем свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$.

$(-2\sqrt[5]{-5})^5 = (-2)^5 \cdot (\sqrt[5]{-5})^5$.

Вычислим каждый множитель отдельно:

$(-2)^5 = -32$ (поскольку основание отрицательное, а показатель степени нечетный, результат будет отрицательным).

По определению корня n-й степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В данном случае $n=5$ и $a=-5$, поэтому $(\sqrt[5]{-5})^5 = -5$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$(-32) \cdot (-5) = 160$ (произведение двух отрицательных чисел положительно).

Ответ: 160