Номер 11.7, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.7. Найдите область значений функции:

1) $y = \sqrt[6]{x}-2$; 2) $y = \sqrt[3]{x}-3$; 3) $y = |\sqrt[8]{x}-1|$.

1) Дана функция $y = \sqrt[6]{x} - 2$. Область значений функции (range) — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Найдем сначала область значений выражения $\sqrt[6]{x}$. Корень шестой степени (четной степени) определен для $x \ge 0$ и его значения всегда неотрицательны. Таким образом, $\sqrt[6]{x} \ge 0$. Минимальное значение $\sqrt[6]{x}$ равно 0 (при $x=0$), а максимальное значение не ограничено, то есть множество значений для $\sqrt[6]{x}$ есть $[0, +\infty)$. Функция $y$ получается вычитанием 2 из значений $\sqrt[6]{x}$. Если $\sqrt[6]{x} \ge 0$, то $\sqrt[6]{x} - 2 \ge 0 - 2$, то есть $y \ge -2$. Поскольку $\sqrt[6]{x}$ может быть сколь угодно большим, то и $y$ может быть сколь угодно большим. Следовательно, область значений функции — это промежуток $[-2, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [-2, +\infty)$.

2) Дана функция $y = \sqrt[3]{x} - 3$. Найдем область значений выражения $\sqrt[3]{x}$. Корень третьей степени (нечетной степени) определен для всех действительных чисел $x$, и его значения также охватывают все действительные числа. То есть, множество значений для $\sqrt[3]{x}$ есть $(-\infty, +\infty)$. Функция $y$ получается вычитанием константы 3 из значений $\sqrt[3]{x}$. Если из множества всех действительных чисел вычесть 3, то результатом снова будет множество всех действительных чисел. Следовательно, область значений функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

3) Дана функция $y = |\sqrt[8]{x} - 1|$. Сначала рассмотрим выражение внутри модуля: $f(x) = \sqrt[8]{x} - 1$. Корень восьмой степени (четной степени) определен для $x \ge 0$, и его значения неотрицательны: $\sqrt[8]{x} \ge 0$. Тогда для выражения $\sqrt[8]{x} - 1$ имеем: $\sqrt[8]{x} - 1 \ge 0 - 1$, то есть $\sqrt[8]{x} - 1 \ge -1$. Таким образом, множество значений выражения под модулем есть $[-1, +\infty)$. Функция $y$ является абсолютным значением (модулем) этого выражения. Модуль любого числа всегда неотрицателен, то есть $y \ge 0$. Наименьшее значение $y$ равно 0. Оно достигается, когда выражение под модулем равно нулю: $\sqrt[8]{x} - 1 = 0$, что возможно при $x=1$. Поскольку выражение $\sqrt[8]{x} - 1$ может принимать сколь угодно большие положительные значения (когда $x \to +\infty$), его модуль также может принимать сколь угодно большие значения. Следовательно, область значений функции — это все неотрицательные числа.
Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.