Номер 11.14, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.14. Найдите область определения выражения:

1) $\sqrt[4]{\frac{|x|-1}{x^2-9}}$;

2) $\sqrt[8]{6-|x|} + \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}}$.

1) Область определения выражения $ \sqrt[4]{\frac{|x|-1}{x^2-9}} $ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Это приводит к системе условий:

$ \begin{cases} \frac{|x|-1}{x^2-9} \ge 0 \\ x^2-9 \ne 0 \end{cases} $

Из второго условия получаем $ x^2 \ne 9 $, то есть $ x \ne 3 $ и $ x \ne -3 $.

Для решения первого неравенства $ \frac{|x|-1}{x^2-9} \ge 0 $ применим метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нули числителя: $ |x|-1 = 0 \implies |x| = 1 \implies x = -1 $ или $ x = 1 $.

Нули знаменателя: $ x^2-9 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = -3 $ или $ x = 3 $.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точки $ x = -1 $ и $ x = 1 $ включаем в решение (закрашенные), так как неравенство нестрогое. Точки $ x = -3 $ и $ x = 3 $ исключаем (выколотые), так как они обращают знаменатель в ноль.

Определим знак выражения $ f(x) = \frac{|x|-1}{x^2-9} $ на каждом из полученных интервалов:

• Интервал $ (-\infty; -3) $: возьмем $ x=-4 $. $ f(-4) = \frac{|-4|-1}{(-4)^2-9} = \frac{3}{7} > 0 $. Интервал подходит.
• Интервал $ (-3; -1] $: возьмем $ x=-2 $. $ f(-2) = \frac{|-2|-1}{(-2)^2-9} = \frac{1}{-5} < 0 $. Интервал не подходит.
• Интервал $ [-1; 1] $: возьмем $ x=0 $. $ f(0) = \frac{|0|-1}{0^2-9} = \frac{-1}{-9} > 0 $. Интервал подходит.
• Интервал $ [1; 3) $: возьмем $ x=2 $. $ f(2) = \frac{|2|-1}{2^2-9} = \frac{1}{-5} < 0 $. Интервал не подходит.
• Интервал $ (3; +\infty) $: возьмем $ x=4 $. $ f(4) = \frac{|4|-1}{4^2-9} = \frac{3}{7} > 0 $. Интервал подходит.

Объединяя все подходящие промежутки, получаем область определения выражения.

Ответ: $ (-\infty; -3) \cup [-1; 1] \cup (3; +\infty) $.

2) Область определения выражения $ \sqrt[8]{6-|x|} + \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}} $ является пересечением областей определения каждого из двух слагаемых.

Найдем область определения для первого слагаемого $ \sqrt[8]{6-|x|} $. Так как корень имеет четную степень (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$ 6 - |x| \ge 0 $

$ |x| \le 6 $

Это неравенство равносильно $ -6 \le x \le 6 $, то есть $ x \in [-6; 6] $.

Теперь найдем область определения для второго слагаемого $ \frac{1}{\sqrt[4]{3-x}} $. Здесь корень четной степени (4) находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным:

$ 3 - x > 0 $

$ x < 3 $, то есть $ x \in (-\infty; 3) $.

Для нахождения области определения исходного выражения найдем пересечение полученных множеств:

$ \begin{cases} -6 \le x \le 6 \\ x < 3 \end{cases} $

Решением этой системы является промежуток $ [-6; 3) $.

Ответ: $ [-6; 3) $.