Номер 11.16, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.16. Решите уравнение:

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0$;

2) $(x-1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$.

1) $(x^2 - 4)\sqrt[4]{x + 1} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Следовательно, данное уравнение равносильно системе, в которой совокупность уравнений решается с учетом области допустимых значений (ОДЗ).

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения для корня четной степени:

$x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.

Уравнение распадается на два случая:

1. $x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$.

2. $\sqrt[4]{x + 1} = 0$

$x + 1 = 0$

$x_3 = -1$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -1$):

• Корень $x = 2$ удовлетворяет условию $2 \ge -1$, значит, является решением уравнения.
• Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $-2 \ge -1$, значит, является посторонним корнем.
• Корень $x = -1$ удовлетворяет условию $-1 \ge -1$, значит, является решением уравнения.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -1$ и $x = 2$.

Ответ: -1; 2.

2) $(x - 1)\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Это означает, что мы должны решить совокупность уравнений при условии, что подкоренное выражение корня четной степени неотрицательно.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Сначала найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Это и есть ОДЗ.

Уравнение равносильно совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} x-1=0, \\ \sqrt[10]{x^2-2x-3}=0, \end{array} \right.$

при условии $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Решим каждое уравнение совокупности:

1. $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

2. $\sqrt[10]{x^2 - 2x - 3} = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = -1$ или $x = 3$.

Теперь проверим найденные значения на принадлежность ОДЗ:

• Корень $x = 1$ не принадлежит ОДЗ, так как $1 \notin (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x = -1$ принадлежит ОДЗ, так как $-1 \in (-\infty, -1]$.
• Корень $x = 3$ принадлежит ОДЗ, так как $3 \in [3, \infty)$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = -1$ и $x = 3$.

Ответ: -1; 3.