Номер 11.20, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$

на промежутке:

1) $[-3; -1]; $ 2) $[-1; 2];$ 3) $[-3; +\infty).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на заданных промежутках, исследуем ее поведение. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = f(x)$. Найдем производную функции. Если $x > 0$, то $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $f'(x) = (\sqrt[4]{x})' = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. Так как $x > 0$, то $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает на $(0; +\infty)$. Если $x < 0$, то $f(x) = \sqrt[4]{-x}$ и $f'(x) = (\sqrt[4]{-x})' = \frac{1}{4}(-x)^{-3/4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(-x)^3}}$. Так как $x < 0$, то $-x > 0$, и $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает на $(-\infty; 0)$. В точке $x=0$ производная не существует. Так как при переходе через эту точку производная меняет знак с «−» на «+», $x=0$ является точкой минимума. $f(0)=0$ - это глобальный минимум функции.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-3; -1]$. На этом промежутке функция $f(x)$ монотонно убывает, так как он является частью интервала $(-\infty; 0)$. Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом. Вычислим значения функции на концах отрезка:Наибольшее значение: $f(-3) = \sqrt[4]{|-3|} = \sqrt[4]{3}$. Наименьшее значение: $f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $\sqrt[4]{3}$.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-1; 2]$. Этот промежуток содержит точку минимума $x=0$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, необходимо сравнить её значения в критической точке $x=0$ и на концах отрезка $x=-1$ и $x=2$. Вычислим значения:$f(-1) = \sqrt[4]{|-1|} = 1$.$f(0) = \sqrt[4]{|0|} = 0$.$f(2) = \sqrt[4]{|2|} = \sqrt[4]{2}$. Сравнивая полученные значения $0$, $1$ и $\sqrt[4]{2}$, заключаем:Наименьшее значение равно $0$. Наибольшее значение равно $\max(1, \sqrt[4]{2})$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[4]{2} > \sqrt[4]{1} = 1$. Следовательно, наибольшее значение равно $\sqrt[4]{2}$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\sqrt[4]{2}$.

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[4]{|x|}$ на промежутке $[-3; +\infty)$. Этот промежуток содержит точку глобального минимума $x=0$. Наименьшее значение функции на данном промежутке достигается в этой точке:$f_{наим} = f(0) = \sqrt[4]{|0|} = 0$. Для определения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to +\infty$, так как промежуток неограничен справа.$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[4]{x} = +\infty$. Поскольку функция неограниченно возрастает, она не достигает своего наибольшего значения на этом промежутке.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.