Номер 11.24, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.24. В зависимости от значения параметра $a$ определите количество корней уравнения:

1) $(x-a)\sqrt[4]{x+1}=0;$

2) $(x-a)(\sqrt[4]{x+1})=0;$

3) $(x-a)(\sqrt[4]{x-1})=0.$

1)

Дано уравнение $(x - a)\sqrt[4]{x} + 1 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием корня $\sqrt[4]{x}$, поэтому $x \ge 0$.

Проверим, может ли $x=0$ быть корнем уравнения. Подставив $x=0$, получим: $(0-a)\sqrt[4]{0} + 1 = 0$, что приводит к неверному равенству $1=0$. Следовательно, $x=0$ не является корнем, и мы можем считать, что $x > 0$.

Преобразуем исходное уравнение, чтобы выразить параметр $a$ через $x$:

$(x-a)\sqrt[4]{x} = -1$

Так как $x > 0$, то $\sqrt[4]{x} > 0$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt[4]{x}$:

$x-a = -\frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

$a = x + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$

Задача свелась к нахождению количества решений уравнения $a=f(x)$ в зависимости от параметра $a$, где $f(x) = x + \frac{1}{\sqrt[4]{x}}$ для $x > 0$. Для этого исследуем функцию $f(x)$ на монотонность и экстремумы с помощью производной.

Найдем производную функции $f(x) = x + x^{-1/4}$:

$f'(x) = 1 - \frac{1}{4}x^{-5/4} = 1 - \frac{1}{4x^{5/4}}$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$1 - \frac{1}{4x^{5/4}} = 0 \implies 4x^{5/4} = 1 \implies x^{5/4} = \frac{1}{4}$

Отсюда, $x_0 = \left(\frac{1}{4}\right)^{4/5} = 4^{-4/5}$.

При $0 < x < x_0$ производная $f'(x) < 0$, и функция $f(x)$ убывает. При $x > x_0$ производная $f'(x) > 0$, и функция $f(x)$ возрастает. Следовательно, в точке $x_0$ функция достигает своего глобального минимума.

Найдем это минимальное значение:

$a_{min} = f(x_0) = 4^{-4/5} + \frac{1}{\sqrt[4]{4^{-4/5}}} = 4^{-4/5} + (4^{-4/5})^{-1/4} = 4^{-4/5} + 4^{1/5}$

Упростим выражение: $a_{min} = 4^{-4/5}(1+4) = 5 \cdot 4^{-4/5} = \frac{5}{4^{4/5}} = \frac{5}{\sqrt[5]{4^4}} = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$.

Количество корней уравнения зависит от значения параметра $a$:

• Если $a < a_{min}$ (т.е. $a < \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$), то прямая $y=a$ не пересекает график функции $y=f(x)$, и уравнение не имеет корней.
• Если $a = a_{min}$ (т.е. $a = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$), то прямая касается графика в точке минимума, и уравнение имеет один корень.
• Если $a > a_{min}$ (т.е. $a > \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$), то прямая пересекает график в двух точках, и уравнение имеет два корня.

Ответ: если $a < \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, корней нет; если $a = \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, один корень; если $a > \frac{5}{\sqrt[5]{256}}$, два корня.

2)

Дано уравнение $(x-a)(\sqrt[4]{x}+1)=0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x-a = 0 \implies x = a$.

2) $\sqrt[4]{x}+1 = 0 \implies \sqrt[4]{x} = -1$.

Второе уравнение, $\sqrt[4]{x} = -1$, не имеет решений в действительных числах, так как по определению арифметический корень четной степени не может быть отрицательным, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$.

Следовательно, единственным возможным корнем уравнения является $x=a$. Этот корень должен удовлетворять ОДЗ: $a \ge 0$.

Таким образом, количество корней зависит от значения $a$:

• Если $a < 0$, то корень $x=a$ не удовлетворяет ОДЗ, и уравнение не имеет корней.
• Если $a \ge 0$, то корень $x=a$ удовлетворяет ОДЗ, и уравнение имеет один корень.

Ответ: если $a < 0$, корней нет; если $a \ge 0$, один корень.

3)

Дано уравнение $(x-a)(\sqrt[4]{x}-1)=0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x-a = 0 \implies x = a$.

2) $\sqrt[4]{x}-1 = 0 \implies \sqrt[4]{x} = 1$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x = 1$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), поэтому он является корнем уравнения при любом значении параметра $a$.

Корень $x=a$ будет решением только в том случае, если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при $a \ge 0$.

Проанализируем количество корней в зависимости от $a$:

• Если $a < 0$, то корень $x=a$ не удовлетворяет ОДЗ. Единственным корнем уравнения является $x=1$. В этом случае уравнение имеет один корень.
• Если $a \ge 0$, то корень $x=a$ удовлетворяет ОДЗ. Уравнение может иметь два корня: $x=a$ и $x=1$.
  • Если $a=1$, эти два корня совпадают. Уравнение имеет один корень $x=1$.
  • Если $a \ge 0$ и $a \ne 1$, то корни $x=a$ и $x=1$ различны и оба действительны. Уравнение имеет два корня.

Обобщая, получаем:

Ответ: если $a < 0$ или $a=1$, один корень; если $a \ge 0$ и $a \ne 1$, два корня.