Номер 11.30, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.30. Найдите целую часть числа $\underbrace{\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{ \ldots + \sqrt[3]{24} }}}}_{\text{100 радикалов}}$.

Обозначим искомое число через $A$. Это число можно представить как 100-й член последовательности $A_n$, которая определяется рекуррентно:

$A_1 = \sqrt[3]{24}$

$A_n = \sqrt[3]{24 + A_{n-1}}$ для $n \ge 2$.

Чтобы найти целую часть числа $A_{100}$, необходимо оценить его значение, то есть найти для него верхнюю и нижнюю целые границы.

1. Оценка сверху

Докажем методом математической индукции, что все члены последовательности $A_n$ строго меньше 3.

База индукции (при $n=1$):

$A_1 = \sqrt[3]{24}$. Поскольку $3^3 = 27$, очевидно, что $\sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{27}$, то есть $A_1 < 3$. База индукции верна.

Шаг индукции:

Предположим, что для некоторого натурального $k$ выполняется неравенство $A_k < 3$. Докажем, что из этого следует $A_{k+1} < 3$.

$A_{k+1} = \sqrt[3]{24 + A_k}$.

Используя предположение индукции $A_k < 3$, получаем:

$24 + A_k < 24 + 3 = 27$.

Следовательно, $A_{k+1} = \sqrt[3]{24 + A_k} < \sqrt[3]{27} = 3$.

Шаг индукции доказан. Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство $A_n < 3$ справедливо для всех натуральных $n$. В частности, для $n=100$ мы имеем $A_{100} < 3$.

2. Оценка снизу

Сначала докажем, что последовательность $A_n$ является возрастающей, то есть $A_{n+1} > A_n$ для любого $n \ge 1$.

Рассмотрим разность $A_{n+1}^3 - A_n^3$: $A_{n+1}^3 = 24 + A_n$ и $A_n^3 = 24 + A_{n-1}$.

$A_2 = \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24}}$. Так как $\sqrt[3]{24} > 0$, то $24 + \sqrt[3]{24} > 24$, откуда $\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24}} > \sqrt[3]{24}$, то есть $A_2 > A_1$.

Предположим, что $A_k > A_{k-1}$ для некоторого $k \ge 2$. Тогда $24 + A_k > 24 + A_{k-1}$. Так как функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, то $\sqrt[3]{24 + A_k} > \sqrt[3]{24 + A_{k-1}}$, что означает $A_{k+1} > A_k$.

Следовательно, последовательность $A_n$ является строго возрастающей.

Теперь найдем нижнюю границу. Рассмотрим первый член последовательности:

$A_1 = \sqrt[3]{24}$.

Поскольку $2^3 = 8$, то $A_1 = \sqrt[3]{24} > \sqrt[3]{8} = 2$.

Так как последовательность является возрастающей ($A_{100} > A_{99} > \dots > A_1$), то $A_{100} > A_1$.

Следовательно, $A_{100} > 2$.

3. Заключение

Из полученных оценок следует, что искомое число $A_{100}$ находится в интервале:

$2 < A_{100} < 3$.

Это означает, что целая часть числа $A_{100}$ равна 2.

Ответ: 2