Страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.30. Найдите целую часть числа $\underbrace{\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{ \ldots + \sqrt[3]{24} }}}}_{\text{100 радикалов}}$.

Обозначим искомое число через $A$. Это число можно представить как 100-й член последовательности $A_n$, которая определяется рекуррентно:

$A_1 = \sqrt[3]{24}$

$A_n = \sqrt[3]{24 + A_{n-1}}$ для $n \ge 2$.

Чтобы найти целую часть числа $A_{100}$, необходимо оценить его значение, то есть найти для него верхнюю и нижнюю целые границы.

1. Оценка сверху

Докажем методом математической индукции, что все члены последовательности $A_n$ строго меньше 3.

База индукции (при $n=1$):

$A_1 = \sqrt[3]{24}$. Поскольку $3^3 = 27$, очевидно, что $\sqrt[3]{24} < \sqrt[3]{27}$, то есть $A_1 < 3$. База индукции верна.

Шаг индукции:

Предположим, что для некоторого натурального $k$ выполняется неравенство $A_k < 3$. Докажем, что из этого следует $A_{k+1} < 3$.

$A_{k+1} = \sqrt[3]{24 + A_k}$.

Используя предположение индукции $A_k < 3$, получаем:

$24 + A_k < 24 + 3 = 27$.

Следовательно, $A_{k+1} = \sqrt[3]{24 + A_k} < \sqrt[3]{27} = 3$.

Шаг индукции доказан. Таким образом, по принципу математической индукции, неравенство $A_n < 3$ справедливо для всех натуральных $n$. В частности, для $n=100$ мы имеем $A_{100} < 3$.

2. Оценка снизу

Сначала докажем, что последовательность $A_n$ является возрастающей, то есть $A_{n+1} > A_n$ для любого $n \ge 1$.

Рассмотрим разность $A_{n+1}^3 - A_n^3$: $A_{n+1}^3 = 24 + A_n$ и $A_n^3 = 24 + A_{n-1}$.

$A_2 = \sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24}}$. Так как $\sqrt[3]{24} > 0$, то $24 + \sqrt[3]{24} > 24$, откуда $\sqrt[3]{24 + \sqrt[3]{24}} > \sqrt[3]{24}$, то есть $A_2 > A_1$.

Предположим, что $A_k > A_{k-1}$ для некоторого $k \ge 2$. Тогда $24 + A_k > 24 + A_{k-1}$. Так как функция $f(x) = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, то $\sqrt[3]{24 + A_k} > \sqrt[3]{24 + A_{k-1}}$, что означает $A_{k+1} > A_k$.

Следовательно, последовательность $A_n$ является строго возрастающей.

Теперь найдем нижнюю границу. Рассмотрим первый член последовательности:

$A_1 = \sqrt[3]{24}$.

Поскольку $2^3 = 8$, то $A_1 = \sqrt[3]{24} > \sqrt[3]{8} = 2$.

Так как последовательность является возрастающей ($A_{100} > A_{99} > \dots > A_1$), то $A_{100} > A_1$.

Следовательно, $A_{100} > 2$.

3. Заключение

Из полученных оценок следует, что искомое число $A_{100}$ находится в интервале:

$2 < A_{100} < 3$.

Это означает, что целая часть числа $A_{100}$ равна 2.

Ответ: 2

11.31. Найдите целую часть числа $\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \dots + \sqrt[4]{14}}}}$.

200 радикалов

Обозначим искомое число через $A$: $A = \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \dots + \sqrt[4]{14}}}}$, где выражение содержит 200 знаков радикала.

Для нахождения целой части числа $A$, нам нужно найти два последовательных целых числа, между которыми оно находится.

Рассмотрим числовую последовательность $\{a_n\}$, определенную рекуррентно: $a_1 = \sqrt[4]{14}$ $a_{n+1} = \sqrt[4]{14 + a_n}$ для $n \ge 1$.

Искомое число $A$ является 200-м членом этой последовательности, то есть $A = a_{200}$.

Оценка сверху

Докажем методом математической индукции, что $a_n < 2$ для всех натуральных $n$.

База индукции ($n=1$): $a_1 = \sqrt[4]{14}$. Поскольку $2^4 = 16$, а $14 < 16$, то $a_1 = \sqrt[4]{14} < \sqrt[4]{16} = 2$. Утверждение верно.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k$ выполняется неравенство $a_k < 2$. Докажем, что из этого следует $a_{k+1} < 2$. $a_{k+1} = \sqrt[4]{14 + a_k}$. Так как по предположению $a_k < 2$, то $14 + a_k < 14 + 2 = 16$. Следовательно, $a_{k+1} = \sqrt[4]{14 + a_k} < \sqrt[4]{16} = 2$. Шаг индукции доказан.

Таким образом, мы доказали, что $a_n < 2$ для всех $n \ge 1$. В частности, $A = a_{200} < 2$.

Оценка снизу

Сначала найдем значение первого члена последовательности. $a_1 = \sqrt[4]{14}$. Поскольку $1^4 = 1$, а $14 > 1$, то $a_1 = \sqrt[4]{14} > \sqrt[4]{1} = 1$.

Теперь докажем, что последовательность $\{a_n\}$ является возрастающей, т.е. $a_{n+1} > a_n$ для всех $n \ge 1$. Мы можем сделать это также с помощью индукции.

База индукции ($n=1$): $a_2 = \sqrt[4]{14 + a_1} = \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14}}$. Так как $\sqrt[4]{14} > 0$, то $14 + \sqrt[4]{14} > 14$. Отсюда $a_2 = \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14}} > \sqrt[4]{14} = a_1$. Утверждение верно.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k>1$ выполняется неравенство $a_k > a_{k-1}$. Тогда $14 + a_k > 14 + a_{k-1}$. Поскольку функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей для $x>0$, то $\sqrt[4]{14 + a_k} > \sqrt[4]{14 + a_{k-1}}$. Это означает, что $a_{k+1} > a_k$. Шаг индукции доказан.

Так как $a_1 > 1$ и последовательность $\{a_n\}$ строго возрастающая, то $A = a_{200} > a_{199} > \dots > a_1 > 1$. Следовательно, $A > 1$.

Заключение

Мы получили двойное неравенство для числа $A$: $1 < A < 2$.

Это означает, что число $A$ находится строго между 1 и 2. Целая часть числа — это наибольшее целое, не превосходящее само число. Для $A$ из интервала $(1, 2)$ целая часть равна 1.

Ответ: 1

11.32. Решите уравнение $x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x-1}$.

11.32.

Дано уравнение:

$x^3 + 1 = 2 \sqrt[3]{2x - 1}$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $y = \sqrt[3]{2x - 1}$.

Возведя обе части этого равенства в куб, получим $y^3 = 2x - 1$, или $y^3 + 1 = 2x$.

Подставим $y$ в исходное уравнение: $x^3 + 1 = 2y$.

Таким образом, мы получили систему из двух симметричных уравнений:

$\begin{cases} x^3 + 1 = 2y \\ y^3 + 1 = 2x \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^3 + 1) - (y^3 + 1) = 2y - 2x$

$x^3 - y^3 = -2(x - y)$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 - y^3 + 2(x - y) = 0$

Разложим разность кубов на множители:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 2(x - y) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - y = 0 \implies x = y$.

2) $x^2 + xy + y^2 + 2 = 0$.

Рассмотрим второй случай. Преобразуем выражение в левой части, выделив полный квадрат:

$x^2 + xy + y^2 + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + \frac{y^2}{4}) - \frac{y^2}{4} + y^2 + 2 = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + 2$.

Выражение $(x + \frac{y}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3y^2}{4} \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$.

Следовательно, сумма $(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + 2 \ge 2$, и она никогда не может быть равна нулю.

Таким образом, уравнение $x^2 + xy + y^2 + 2 = 0$ не имеет действительных решений.

Остается рассмотреть только первый случай: $x = y$.

Подставим $y = x$ в любое из уравнений системы, например, в первое $x^3 + 1 = 2y$:

$x^3 + 1 = 2x$

$x^3 - 2x + 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. Заметим, что сумма коэффициентов $1 - 2 + 1 = 0$, следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $x^3 - 2x + 1$ на $(x - 1)$ "уголком" или по схеме Горнера, чтобы найти остальные корни.

$(x^3 - 2x + 1) : (x - 1) = x^2 + x - 1$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(x^2 + x - 1) = 0$

Теперь решим два уравнения:

а) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

б) $x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Отсюда получаем еще два корня: $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Все проведенные преобразования были равносильными, поэтому все найденные значения $x$ являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $1; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

11.33. Решите уравнение $x^3 + 2 = 3\sqrt[3]{3x-2}$.

Для решения уравнения $x^3 + 2 = 3\sqrt[3]{3x - 2}$ удобно использовать метод введения новой переменной.

Пусть $y = \sqrt[3]{3x - 2}$. Возведя обе части этого равенства в куб, мы получим $y^3 = 3x - 2$.

Теперь подставим $y$ в исходное уравнение, что даст нам $x^3 + 2 = 3y$.

В результате мы получили систему двух симметричных уравнений:

$\begin{cases} x^3 + 2 = 3y \\ y^3 + 2 = 3x \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^3 + 2) - (y^3 + 2) = 3y - 3x$

$x^3 - y^3 = -3(x - y)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и разложим на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - y^3 + 3(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 3(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $x - y = 0$

Из этого равенства следует, что $x = y$. Подставим это в уравнение $y = \sqrt[3]{3x - 2}$:

$x = \sqrt[3]{3x - 2}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$x^3 = 3x - 2$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Его целые корни могут быть среди делителей свободного члена 2, то есть $\pm1, \pm2$. Проверим их:

При $x = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.

При $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$. Следовательно, $x=-2$ является корнем.

Разложим многочлен на множители:

$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$.

Уравнение $(x-1)^2(x+2) = 0$ имеет корни $x = 1$ и $x = -2$.

Случай 2: $x^2 + xy + y^2 + 3 = 0$

Рассмотрим левую часть этого уравнения. Ее можно преобразовать, выделив полный квадрат:

$x^2 + xy + y^2 + 3 = (x^2 + xy + \frac{y^2}{4}) - \frac{y^2}{4} + y^2 + 3 = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 3$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, мы имеем $(x + \frac{y}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}y^2 \ge 0$.

Следовательно, вся сумма $(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$.

Поскольку левая часть выражения всегда больше или равна 3, она никогда не может быть равна 0. Таким образом, в этом случае уравнение не имеет действительных решений.

Объединив результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что решениями исходного уравнения являются только те значения, которые были найдены в первом случае.

Ответ: $x=1, x=-2$.