Страница 91 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют корнем n-й степени из числа a, где $n \in N, n > 1$?

2. Что называют арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a, где $n \in N, n > 1$?

3. Какими свойствами обладает функция $y = \sqrt[2k+1]{x}$, $k \in N$?

4. Какими свойствами обладает функция $y = \sqrt[2k]{x}$, $k \in N$?

1. Что называют корнем n-й степени из числа a, где n ∈ N, n > 1?

Корнем $n$-й степени из числа $a$ (где $n \in N$, $n > 1$) называют такое число $b$, $n$-я степень которого равна $a$. Это можно записать в виде равенства: $b^n = a$. Число $b$ обозначается как $\sqrt[n]{a}$.
В зависимости от четности $n$ и знака $a$ количество действительных корней может быть разным:

• Если $n$ — четное число и $a > 0$, существует два действительных корня: $\sqrt[n]{a}$ и $-\sqrt[n]{a}$.
• Если $n$ — четное число и $a = 0$, существует один корень: $0$.
• Если $n$ — четное число и $a < 0$, действительных корней не существует.
• Если $n$ — нечетное число, то для любого действительного числа $a$ существует единственный действительный корень.

Ответ: Корнем $n$-й степени из числа $a$ называют такое число, $n$-я степень которого равна $a$.

2. Что называют арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа a, где n ∈ N, n > 1?

Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ (где $n \in N$, $n > 1$) называют такое неотрицательное число $b$, $n$-я степень которого равна $a$.
Таким образом, запись $b = \sqrt[n]{a}$ означает, что одновременно выполняются два условия:

1. $b \ge 0$ (корень является неотрицательным числом)
2. $b^n = a$

Из этих условий следует, что и подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным ($a \ge 0$).
Ответ: Арифметическим корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

3. Какими свойствами обладает функция y = $\sqrt[2k+1]{x}$, k ∈ N?

Функция $y = \sqrt[2k+1]{x}$, где $k \in N$, представляет собой функцию корня нечетной степени (показатель корня $n = 2k+1$ принимает значения $3, 5, 7, \dots$). Основные свойства этой функции:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как для любого $x$ из области определения $y(-x) = \sqrt[2k+1]{-x} = -\sqrt[2k+1]{x} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Ограниченность: функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Функция $y = \sqrt[2k+1]{x}$ определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел, является нечетной и возрастающей, ее область значений — все действительные числа.

4. Какими свойствами обладает функция y = $\sqrt[2k]{x}$, k ∈ N?

Функция $y = \sqrt[2k]{x}$, где $k \in N$, представляет собой функцию корня четной степени (показатель корня $n = 2k$ принимает значения $2, 4, 6, \dots$). По определению, рассматривается арифметический корень. Основные свойства этой функции:

• Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел, $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений: множество всех неотрицательных действительных чисел, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (является функцией общего вида), так как ее область определения не симметрична относительно нуля.
• Монотонность: функция является строго возрастающей на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x > 0$.
• Ограниченность: функция ограничена снизу (числом 0), но не ограничена сверху.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Функция $y = \sqrt[2k]{x}$ определена и непрерывна на множестве неотрицательных чисел, является возрастающей, ее область значений — неотрицательные числа, она ограничена снизу.