Страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.1. Найдите:

1) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}$;

2) $\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}}$;

3) $\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10}$.

1) Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}$.
Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2

2) Для вычисления частного корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.
$\frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}}$.
Сократим дробь под корнем: $\frac{4}{128} = \frac{1}{32}$.
Получаем $\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$, так как $2^5 = 32$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Сначала применим свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{6\sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3} - 10} = \sqrt[3]{(6\sqrt{3} + 10)(6\sqrt{3} - 10)}$.
Выражение под корнем представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, которое равно разности их квадратов по формуле $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
$\sqrt[3]{(6\sqrt{3})^2 - 10^2} = \sqrt[3]{6^2 \cdot (\sqrt{3})^2 - 100} = \sqrt[3]{36 \cdot 3 - 100} = \sqrt[3]{108 - 100} = \sqrt[3]{8}$.
Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2

12.2. Чему равно значение выражения:

1) $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5}$; 2) $\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$; 3) $\sqrt[5]{2\sqrt{17} + 10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17} - 10}$?

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5}$, воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Применим это свойство:

$\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{25 \cdot 5} = \sqrt[3]{125}$

Так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$, то кубический корень из 125 равен 5.

$\sqrt[3]{125} = 5$

Ответ: 5

2) Для вычисления значения выражения $\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$ воспользуемся свойством частного корней одинаковой степени: $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$.

Применим это свойство:

$\frac{\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}} = \sqrt[4]{\frac{80}{5}} = \sqrt[4]{16}$

Так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$, то корень четвертой степени из 16 равен 2.

$\sqrt[4]{16} = 2$

Ответ: 2

3) В выражении $\sqrt[5]{2\sqrt{17}+10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17}-10}$ мы снова используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{2\sqrt{17}+10} \cdot \sqrt[5]{2\sqrt{17}-10} = \sqrt[5]{(2\sqrt{17}+10) \cdot (2\sqrt{17}-10)}$

Выражение под корнем представляет собой произведение суммы и разности двух чисел. Применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a = 2\sqrt{17}$ и $b = 10$.

$(2\sqrt{17})^2 - 10^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{17})^2 - 100 = 4 \cdot 17 - 100 = 68 - 100 = -32$.

Теперь нужно найти значение корня:

$\sqrt[5]{-32}$

Так как $(-2)^5 = -32$, то корень пятой степени из -32 равен -2.

$\sqrt[5]{-32} = -2$

Ответ: -2

12.3. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{162};$

2) $\sqrt[3]{250};$

3) $\sqrt[3]{-a^7};$

4) $\sqrt[3]{-54a^5b^9}.$

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[4]{162}$, необходимо разложить подкоренное число 162 на множители так, чтобы один из них был точной четвертой степенью.

Разложим 162 на простые множители: $162 = 2 \times 81$.

Заметим, что $81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$.

Таким образом, $162 = 3^4 \times 2$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt[4]{162} = \sqrt[4]{3^4 \times 2}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$), получаем:

$\sqrt[4]{3^4 \times 2} = \sqrt[4]{3^4} \times \sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[4]{2}$.

2) В выражении $\sqrt[3]{250}$ нужно найти множитель, являющийся точным кубом.

Разложим число 250 на множители: $250 = 25 \times 10 = (5 \times 5) \times (5 \times 2) = 5^3 \times 2$.

Или можно заметить, что $250 = 125 \times 2$, где $125$ это $5^3$.

Подставим разложение в корень:

$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{5^3 \times 2}$

Применим свойство корня:

$\sqrt[3]{5^3 \times 2} = \sqrt[3]{5^3} \times \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

3) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{-a^7}$. Так как корень нечетной степени (кубический), знак "минус" можно вынести за знак корня.

$\sqrt[3]{-a^7} = \sqrt[3]{-1 \cdot a^7} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{a^7} = -1 \cdot \sqrt[3]{a^7} = -\sqrt[3]{a^7}$.

Теперь вынесем множитель из-под знака корня для $\sqrt[3]{a^7}$. Для этого представим $a^7$ в виде произведения, где один из множителей будет иметь степень, кратную 3.

$a^7 = a^{6+1} = a^6 \cdot a$.

Тогда:

$-\sqrt[3]{a^7} = -\sqrt[3]{a^6 \cdot a} = -(\sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{a})$.

Поскольку $\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2$, получаем:

$-(a^2 \cdot \sqrt[3]{a}) = -a^2\sqrt[3]{a}$.

Ответ: $-a^2\sqrt[3]{a}$.

4) Упростим выражение $\sqrt[3]{-54a^5b^9}$ по частям.

1. Числовой коэффициент $-54$. Разложим его на множители, выделив точный куб:

$-54 = -27 \times 2 = (-3)^3 \times 2$.

2. Переменная $a$ в степени 5. Представим степень 5 как сумму числа, кратного 3, и остатка:

$a^5 = a^{3+2} = a^3 \cdot a^2$.

3. Переменная $b$ в степени 9. Степень 9 уже кратна 3:

$b^9 = (b^3)^3$.

Теперь объединим все разложения под знаком корня:

$\sqrt[3]{-54a^5b^9} = \sqrt[3]{((-3)^3 \cdot 2) \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b^3)^3}$.

Сгруппируем множители, которые являются точными кубами:

$\sqrt[3]{((-3)^3 \cdot a^3 \cdot (b^3)^3) \cdot (2 \cdot a^2)} = \sqrt[3]{(-3ab^3)^3 \cdot 2a^2}$.

Вынесем множитель $(-3ab^3)^3$ из-под знака кубического корня:

$\sqrt[3]{(-3ab^3)^3} \cdot \sqrt[3]{2a^2} = -3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.

Ответ: $-3ab^3\sqrt[3]{2a^2}$.

12.4. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{80}$;

2) $\sqrt[3]{432}$;

3) $\sqrt[3]{54y^8}$;

4) $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}$.

1) $\sqrt[4]{80}$

Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня, разложим подкоренное выражение на множители. Так как степень корня равна 4, нам нужно выделить множители, являющиеся четвертой степенью какого-либо числа.

Разложим число 80 на множители: $80 = 16 \times 5 = 2^4 \times 5$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{2^4 \times 5}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[4]{2^4 \times 5} = \sqrt[4]{2^4} \times \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$

Ответ: $2\sqrt[4]{5}$.

2) $\sqrt[3]{432}$

Степень корня равна 3. Разложим число 432 на множители, выделяя кубы чисел.

Разложим 432 на простые множители: $432 = 2 \times 216 = 2 \times 6^3$. Также можно разложить по шагам: $432 = 2^4 \times 3^3 = (2^3 \times 3^3) \times 2 = (2 \times 3)^3 \times 2 = 6^3 \times 2$.

Подставим разложение в выражение:

$\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{6^3 \times 2}$

Выносим множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{6^3 \times 2} = \sqrt[3]{6^3} \times \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$

Ответ: $6\sqrt[3]{2}$.

3) $\sqrt[3]{54y^8}$

Степень корня равна 3. Разложим на множители числовой коэффициент и переменную, выделяя множители в третьей степени.

Разложим число 54: $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$.

Представим $y^8$ в виде произведения, где один из множителей имеет степень, кратную 3: $y^8 = y^{6+2} = y^6 \times y^2 = (y^2)^3 \times y^2$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[3]{54y^8} = \sqrt[3]{(3^3 \times 2) \times ((y^2)^3 \times y^2)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot (y^2)^3 \cdot 2y^2}$

Выносим множители, являющиеся кубами, из-под знака корня:

$\sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{(y^2)^3} \times \sqrt[3]{2y^2} = 3 \cdot y^2 \cdot \sqrt[3]{2y^2} = 3y^2\sqrt[3]{2y^2}$

Ответ: $3y^2\sqrt[3]{2y^2}$.

4) $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}$

Степень корня равна 4. Разложим на множители число 243 и степени переменных $b^9$ и $c^{18}$, выделяя четвертые степени.

Разложение числового коэффициента: $243 = 81 \times 3 = 3^4 \times 3$.

Разложение переменных:

$b^9 = b^8 \times b = (b^2)^4 \times b$

$c^{18} = c^{16} \times c^2 = (c^4)^4 \times c^2$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{243b^9c^{18}} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot 3) \cdot ((b^2)^4 \cdot b) \cdot ((c^4)^4 \cdot c^2)}$

Сгруппируем множители, которые можно вынести из-под корня:

$\sqrt[4]{(3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4) \cdot (3 \cdot b \cdot c^2)}$

Вынесем множители из-под знака корня. Так как корень четной степени, при извлечении корня из выражения в четной степени используется модуль: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$.

$\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(b^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(c^4)^4} \cdot \sqrt[4]{3bc^2} = |3| \cdot |b^2| \cdot |c^4| \cdot \sqrt[4]{3bc^2}$

Так как $3>0$, $b^2 \ge 0$ и $c^4 \ge 0$, то их модули равны самим выражениям:

$3 \cdot b^2 \cdot c^4 \cdot \sqrt[4]{3bc^2} = 3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$

(Заметим, что для существования исходного выражения необходимо, чтобы $243b^9c^{18} \ge 0$, что при $c \ne 0$ требует $b^9 \ge 0$, то есть $b \ge 0$.)

Ответ: $3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$.

12.5. Внесите множитель под знак корня:

1) $4\sqrt[3]{5};$

2) $-10\sqrt[4]{0,271};$

3) $5\sqrt[3]{0,04x};$

4) $b\sqrt[5]{3b^3}.$

1) Чтобы внести множитель $4$ под знак корня третьей степени, необходимо возвести его в третью степень и умножить на подкоренное выражение:

$4\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5}$

Вычислим $4^3$:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

Теперь умножим результат на подкоренное выражение:

$\sqrt[3]{64 \cdot 5} = \sqrt[3]{320}$

Ответ: $\sqrt[3]{320}$

2) В выражении $-10\sqrt[4]{0,271}$ множитель $-10$ является отрицательным, а степень корня $4$ — четная. В этом случае знак "минус" остается перед корнем, а под знак корня вносится положительное число $10$, возведенное в четвертую степень:

$-10\sqrt[4]{0,271} = -\sqrt[4]{10^4 \cdot 0,271}$

Вычислим $10^4$:

$10^4 = 10000$

Теперь умножим результат на подкоренное выражение:

$-\sqrt[4]{10000 \cdot 0,271} = -\sqrt[4]{2710}$

Ответ: $-\sqrt[4]{2710}$

3) Чтобы внести множитель $5$ под знак корня третьей степени, возведем его в третью степень и умножим на подкоренное выражение:

$5\sqrt[3]{0,04x} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 0,04x}$

Вычислим $5^3$:

$5^3 = 125$

Теперь выполним умножение под корнем:

$\sqrt[3]{125 \cdot 0,04x} = \sqrt[3]{(125 \cdot 0,04)x} = \sqrt[3]{5x}$

Ответ: $\sqrt[3]{5x}$

4) Чтобы внести множитель $b$ под знак корня пятой степени, необходимо возвести его в пятую степень. Поскольку степень корня нечетная, это можно сделать независимо от знака множителя $b$.

$b\sqrt[5]{3b^3} = \sqrt[5]{b^5 \cdot 3b^3}$

Упростим подкоренное выражение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[5]{3 \cdot b^5 \cdot b^3} = \sqrt[5]{3b^{5+3}} = \sqrt[5]{3b^8}$

Ответ: $\sqrt[5]{3b^8}$

12.6. Внесите множитель под знак корня:

1) $0,25 \sqrt[3]{320}$;

2) $2 \sqrt[4]{7}$;

3) $5 \sqrt[4]{4a}$;

4) $2x^3 \sqrt[5]{0,25x^3}$.

1) Чтобы внести множитель 0,25 под знак кубического корня, его нужно возвести в третью степень и умножить на подкоренное выражение.

$0,25\sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{(0,25)^3 \cdot 320}$

Представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби $1/4$ и возведем ее в куб:

$(0,25)^3 = (\frac{1}{4})^3 = \frac{1^3}{4^3} = \frac{1}{64}$

Теперь умножим полученный результат на подкоренное выражение:

$\sqrt[3]{\frac{1}{64} \cdot 320} = \sqrt[3]{\frac{320}{64}} = \sqrt[3]{5}$

Ответ: $\sqrt[3]{5}$

2) Чтобы внести множитель 2 под знак корня четвертой степени, его нужно возвести в четвертую степень и умножить на подкоренное выражение.

$2\sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 7}$

Вычислим значение $2^4$:

$2^4 = 16$

Теперь выполним умножение под знаком корня:

$\sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112}$

Ответ: $\sqrt[4]{112}$

3) Чтобы внести множитель 5 под знак корня четвертой степени, его нужно возвести в четвертую степень и умножить на подкоренное выражение. Следует учесть, что выражение имеет смысл при $a \ge 0$.

$5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 4a}$

Вычислим значение $5^4$:

$5^4 = 625$

Теперь выполним умножение под знаком корня:

$\sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a}$

Ответ: $\sqrt[4]{2500a}$

4) Чтобы внести множитель $2x^3$ под знак корня пятой степени, его нужно возвести в пятую степень и умножить на подкоренное выражение. Поскольку степень корня нечетная, знак множителя не влияет на операцию.

$2x^3\sqrt[5]{0,25x^3} = \sqrt[5]{(2x^3)^5 \cdot 0,25x^3}$

Возведем множитель в пятую степень:

$(2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32x^{15}$

Теперь выполним умножение под знаком корня:

$\sqrt[5]{32x^{15} \cdot 0,25x^3} = \sqrt[5]{(32 \cdot 0,25) \cdot (x^{15} \cdot x^3)}$

Выполним вычисления для коэффициентов и степеней переменной:

$32 \cdot 0,25 = 8$

$x^{15} \cdot x^3 = x^{15+3} = x^{18}$

Итоговое выражение под корнем будет $8x^{18}$.

Ответ: $\sqrt[5]{8x^{18}}$

12.7. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}}$; 2) $\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}}$; 3) $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$; 4) $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$.

1)

Для упрощения данного выражения внесем множитель 3, стоящий перед внутренним корнем, под знак этого корня. Чтобы внести множитель под корень n-ой степени, его необходимо возвести в n-ую степень.

$\sqrt[3]{3\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{3^3 \cdot 2}}$

Выполним вычисления под внутренним корнем:

$3^3 \cdot 2 = 27 \cdot 2 = 54$

Теперь выражение принимает вид:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{54}}$

Воспользуемся свойством вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$.

$\sqrt[3 \cdot 3]{54} = \sqrt[9]{54}$

Ответ: $\sqrt[9]{54}$.

2)

Для упрощения выражения $\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}}$ (при $b \ge 0$) внесем множитель $b$ под знак внутреннего корня шестой степени.

$\sqrt[5]{b\sqrt[6]{b}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^6 \cdot b}}$

Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели у $b$ под внутренним корнем:

$\sqrt[5]{\sqrt[6]{b^{6+1}}} = \sqrt[5]{\sqrt[6]{b^7}}$

Используем свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[5 \cdot 6]{b^7} = \sqrt[30]{b^7}$

Ответ: $\sqrt[30]{b^7}$.

3)

Упростим выражение $\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}}$ (при $x \ge 0$), внеся множитель $x^3$ под знак кубического корня.

$\sqrt[8]{x^3\sqrt[3]{x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{(x^3)^3 \cdot x^7}}$

Упростим выражение под внутренним корнем, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{3 \cdot 3} \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^9 \cdot x^7}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{9+7}}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{x^{16}}}$

Применим свойство вложенных корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt[8 \cdot 3]{x^{16}} = \sqrt[24]{x^{16}}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 8. Это эквивалентно переходу к степеням с дробными показателями: $x^{16/24} = x^{2/3}$.

$\sqrt[24 \div 8]{x^{16 \div 8}} = \sqrt[3]{x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$.

4)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}}$ с несколькими вложенными корнями удобно перейти к степеням с дробными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$, и работать с выражением изнутри наружу.

Сначала преобразуем самое внутреннее выражение: $2\sqrt{2}$.

$2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2}$

Теперь подставим это в более крупный фрагмент выражения, $\sqrt{2\sqrt{2}}$:

$\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt{2^{3/2}} = (2^{3/2})^{1/2} = 2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 2^{3/4}$

Наконец, подставим полученный результат в исходное выражение:

$\sqrt[3]{2\sqrt{2\sqrt{2}}} = \sqrt[3]{2 \cdot (2^{3/4})} = (2^1 \cdot 2^{3/4})^{1/3}$

Сложим показатели степеней в скобках:

$(2^{1 + 3/4})^{1/3} = (2^{4/4 + 3/4})^{1/3} = (2^{7/4})^{1/3}$

Перемножим показатели степеней:

$2^{\frac{7}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{7/12}$

Запишем результат в виде корня:

$2^{7/12} = \sqrt[12]{2^7}$

Так как $2^7=128$, выражение также можно записать как $\sqrt[12]{128}$.

Ответ: $\sqrt[12]{2^7}$.

12.8. Упростите выражение:

1) $\sqrt[3]{3\sqrt{3}};$

2) $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}};$

3) $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}};$

4) $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a\sqrt[3]{a}}}$.

1)

Для упрощения выражения $\sqrt[3]{3\sqrt{3}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями. Этот метод позволяет систематически применять свойства степеней.

Сначала преобразуем внутреннее выражение $3\sqrt{3}$, записав квадратный корень как степень $\frac{1}{2}$:

$3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели:

$3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение:

$\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}}$

Далее, представим кубический корень как возведение в степень $\frac{1}{3}$ и воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = (3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}}$

Наконец, преобразуем полученную степень обратно в корень:

$3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$

2)

Упростим выражение $\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$, используя степени с рациональными показателями. Предполагается, что переменная $b$ принимает неотрицательные значения ($b \ge 0$).

Преобразуем выражение под кубическим корнем, представив корень четвертой степени как степень $\frac{1}{4}$:

$b\sqrt[4]{b} = b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}}$

Применяя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней:

$b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1+\frac{1}{4}} = b^{\frac{4}{4}+\frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}}$

Подставим результат в исходное выражение:

$\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}}$

Теперь преобразуем кубический корень в степень $\frac{1}{3}$ и воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}} = (b^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{12}}$

Запишем итоговое выражение в виде корня:

$b^{\frac{5}{12}} = \sqrt[12]{b^5}$

Ответ: $\sqrt[12]{b^5}$

3)

Упростим выражение $\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}$, используя степени с рациональными показателями. Предполагается, что $x \ge 0$.

Начнем с преобразования выражения под корнем пятой степени. Представим внутренний корень шестой степени как степень $\frac{1}{6}$:

$x^2\sqrt[6]{x^{13}} = x^2 \cdot (x^{13})^{\frac{1}{6}} = x^2 \cdot x^{\frac{13}{6}}$

Сложим показатели степеней по свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^2 \cdot x^{\frac{13}{6}} = x^{2+\frac{13}{6}} = x^{\frac{12}{6}+\frac{13}{6}} = x^{\frac{25}{6}}$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\sqrt[5]{x^{\frac{25}{6}}}$

Преобразуем корень пятой степени в степень $\frac{1}{5}$ и применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^{\frac{25}{6}})^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{25}{6} \cdot \frac{1}{5}} = x^{\frac{25}{30}} = x^{\frac{5}{6}}$

Запишем результат в виде корня:

$x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5}$

Ответ: $\sqrt[6]{x^5}$

4)

Упростим выражение $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a^3\sqrt[3]{a}}}$. Для этого будем последовательно преобразовывать выражение, двигаясь от самого внутреннего корня к внешнему. Предполагается, что $a \ge 0$.

Шаг 1: Упростим самое внутреннее выражение $a^3\sqrt[3]{a}$.

$a^3\sqrt[3]{a} = a^3 \cdot a^{\frac{1}{3}} = a^{3+\frac{1}{3}} = a^{\frac{9}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{10}{3}}$

Шаг 2: Подставим результат в следующий по вложенности корень. Выражение принимает вид $\sqrt[4]{a\sqrt[4]{a^{\frac{10}{3}}}}$. Упростим $\sqrt[4]{a^{\frac{10}{3}}}$.

$\sqrt[4]{a^{\frac{10}{3}}} = (a^{\frac{10}{3}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{10}{12}} = a^{\frac{5}{6}}$

Шаг 3: Подставим полученное выражение в оставшуюся часть. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[4]{a \cdot a^{\frac{5}{6}}}$. Упростим подкоренное выражение.

$a \cdot a^{\frac{5}{6}} = a^1 \cdot a^{\frac{5}{6}} = a^{1+\frac{5}{6}} = a^{\frac{6}{6}+\frac{5}{6}} = a^{\frac{11}{6}}$

Шаг 4: Наконец, вычислим значение внешнего корня.

$\sqrt[4]{a^{\frac{11}{6}}} = (a^{\frac{11}{6}})^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{11}{6} \cdot \frac{1}{4}} = a^{\frac{11}{24}}$

Запишем итоговый результат в виде корня:

$a^{\frac{11}{24}} = \sqrt[24]{a^{11}}$

Ответ: $\sqrt[24]{a^{11}}$

12.9. Упростите выражение:

1) $(1+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2})(1-\sqrt[3]{a});$

2) $(1+\sqrt{a})(1+\sqrt[4]{a})(1-\sqrt[4]{a}).$

1) Для упрощения выражения $(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})(1 - \sqrt[3]{a})$ воспользуемся формулой разности кубов: $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Переставим множители для удобства: $(1 - \sqrt[3]{a})(1 + \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a^2})$.

Заметим, что $\sqrt[3]{a^2} = (\sqrt[3]{a})^2$. Тогда выражение можно переписать в виде:

$(1 - \sqrt[3]{a})(1^2 + 1 \cdot \sqrt[3]{a} + (\sqrt[3]{a})^2)$

Это в точности соответствует формуле разности кубов, где $x = 1$ и $y = \sqrt[3]{a}$.

Применяя формулу, получаем:

$1^3 - (\sqrt[3]{a})^3 = 1 - a$

Ответ: $1 - a$

2) Для упрощения выражения $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$ воспользуемся формулой разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Сначала применим эту формулу к последним двум множителям: $(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$.

Здесь $x = 1$ и $y = \sqrt[4]{a}$.

$(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{4}} = 1 - a^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{a}$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})$

Снова применяем формулу разности квадратов, где теперь $x = 1$ и $y = \sqrt{a}$.

$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a$.

Ответ: $1 - a$

12.10. Упростите выражение

$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n})$

12.10. Для упрощения данного выражения будем последовательно применять формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Начнем с произведения последних двух множителей в исходном выражении $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n})$:
$(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} - \sqrt[8]{n}) = (\sqrt[8]{m})^2 - (\sqrt[8]{n})^2 = \sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}$.

Теперь выражение принимает вид: $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$.
Снова применим формулу разности квадратов к последним двум множителям:
$(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt{m} - \sqrt{n}$.

В результате выражение упрощается до: $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})$.
Применив формулу в последний раз, получаем окончательный результат:
$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n}) = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.

Ответ: $m - n$.

12.11. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$;

2) $\frac{\sqrt[6]{x}-9}{\sqrt[12]{x}+3}$;

3) $\frac{\sqrt[8]{ab^2}-\sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}$;

4) $\frac{\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt[3]{x}+16}{x-64}$;

5) $\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}}$;

6) $\frac{2-\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$, представим числитель как разность квадратов. Поскольку $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$, мы можем применить формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Числитель: $\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.
Теперь подставим это выражение в дробь:
$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$
Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$.
Ответ: $\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}$.

2) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[6]{x} - 9}{\sqrt[12]{x} + 3}$. Аналогично предыдущему примеру, представим числитель как разность квадратов. Учтем, что $\sqrt[6]{x} = (\sqrt[12]{x})^2$ и $9 = 3^2$.
Числитель: $\sqrt[6]{x} - 9 = (\sqrt[12]{x})^2 - 3^2 = (\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)$.
Подставим это в дробь:
$\frac{(\sqrt[12]{x} - 3)(\sqrt[12]{x} + 3)}{\sqrt[12]{x} + 3}$
Сокращаем на общий множитель $(\sqrt[12]{x} + 3)$ и получаем:
$\sqrt[12]{x} - 3$.
Ответ: $\sqrt[12]{x} - 3$.

3) Упростим дробь $\frac{\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt[8]{ab}$:
$\sqrt[8]{ab^2} - \sqrt[8]{a^2b} = \sqrt[8]{ab \cdot b} - \sqrt[8]{ab \cdot a} = \sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})$.
Знаменатель представим в виде разности квадратов, так как $\sqrt[4]{a} = (\sqrt[8]{a})^2$ и $\sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{b})^2$:
$\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} = (\sqrt[8]{a})^2 - (\sqrt[8]{b})^2 = (\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})$.
Теперь дробь выглядит так:
$\frac{\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$
Заменим в числителе $(\sqrt[8]{b} - \sqrt[8]{a})$ на $-(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$:
$\frac{-\sqrt[8]{ab}(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})}{(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})(\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b})}$
Сократив на $(\sqrt[8]{a} - \sqrt[8]{b})$, получаем:
$\frac{-\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.
Ответ: $\frac{-\sqrt[8]{ab}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}}$.

4) Рассмотрим дробь $\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{x - 64}$.
Знаменатель $x - 64$ является разностью кубов: $x - 64 = (\sqrt[3]{x})^3 - 4^3$.
Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:
$x - 64 = (\sqrt[3]{x} - 4)((\sqrt[3]{x})^2 + 4\sqrt[3]{x} + 4^2) = (\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$.
Подставим это выражение в знаменатель дроби:
$\frac{\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16}{(\sqrt[3]{x} - 4)(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)}$
Сокращаем дробь на выражение $(\sqrt[3]{x^2} + 4\sqrt[3]{x} + 16)$:
$\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{x} - 4}$.

5) Сократим дробь $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}}$.
Знаменатель похож на неполный квадрат разности, а числитель — на сумму кубов. Введем замену: $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$.
Тогда числитель: $\sqrt{a} + \sqrt{b} = (\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3 = x^3 + y^3$.
Знаменатель: $\sqrt[3]{a} - \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b} = (\sqrt[6]{a})^2 - \sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} + (\sqrt[6]{b})^2 = x^2 - xy + y^2$.
Дробь принимает вид $\frac{x^3 + y^3}{x^2 - xy + y^2}$.
Используя формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$, получаем:
$\frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{x^2 - xy + y^2} = x + y$.
Вернемся к исходным переменным:
$x + y = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.
Ответ: $\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$.

6) Упростим выражение $\frac{2 - \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}$.
Разделим почленно числитель на знаменатель:
$\frac{2}{\sqrt[3]{2}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2}{\sqrt[3]{2}} - 1$.
Упростим первое слагаемое, представив 2 как $2^1$, а $\sqrt[3]{2}$ как $2^{1/3}$:
$\frac{2^1}{2^{1/3}} = 2^{1 - 1/3} = 2^{2/3}$.
Запишем результат в виде корня: $2^{2/3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.
Таким образом, окончательное выражение:
$\sqrt[3]{4} - 1$.
Ответ: $\sqrt[3]{4} - 1$.

12.12. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1}$;

2) $\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}};$

3) $\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b}};$

4) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}};$

5) $\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{a^2b}};$

6) $\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}.$

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} - 1}$, представим знаменатель как разность квадратов, используя свойство корней $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$.
$\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} - 1} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a})^2 - 1^2}$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к знаменателю:
$\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} - 1)(\sqrt[6]{a} + 1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[6]{a} + 1)$. Это возможно при $a \geq 0$ и $\sqrt[3]{a} - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
$\frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{m} - \sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n}}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
Преобразуем числитель: $\sqrt{m} - \sqrt[4]{mn} = (\sqrt[4]{m})^2 - \sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n} = \sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n} = \sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n} - (\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}{\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$ при условии, что $m \neq n$.
$\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}} = \sqrt[4]{\frac{m}{n}}$

Ответ: $\sqrt[4]{\frac{m}{n}}$

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$, воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим числитель в виде $a - b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3$.
$\frac{(\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$ при условии, что $a \neq b$.
$\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$

4)

Чтобы сократить дробь $\frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$, вынесем общий множитель в числителе.
$a\sqrt{b} - b\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$.
Подставим преобразованное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$
Сократим дробь на $\sqrt{ab}$ при условии, что $a > 0$ и $b > 0$.
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

5)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b}}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: $\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)$.
В знаменателе: $\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a^2b \cdot b} + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b} + 1)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)}{\sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b} + 1)}$
Сократим дробь на $(\sqrt[3]{b} + 1)$:
$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{(\sqrt[3]{a})^2\sqrt[3]{b}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}} = \frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$

6)

Чтобы сократить дробь $\frac{3 + \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$, разделим числитель почленно на знаменатель.
$\frac{3 + \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}} = \frac{3}{\sqrt[4]{3}} + \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$
Упростим каждое слагаемое. Для первого слагаемого представим $3$ как $(\sqrt[4]{3})^4$:
$\frac{(\sqrt[4]{3})^4}{\sqrt[4]{3}} + 1 = (\sqrt[4]{3})^{4-1} + 1 = (\sqrt[4]{3})^3 + 1$
Вычислим $(\sqrt[4]{3})^3$:
$(\sqrt[4]{3})^3 = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$.
Таким образом, выражение равно $\sqrt[4]{27} + 1$.

Ответ: $\sqrt[4]{27} + 1$