Номер 12.12, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.12. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1}$;

2) $\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}};$

3) $\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b}};$

4) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}};$

5) $\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{a^2b}};$

6) $\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}.$

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} - 1}$, представим знаменатель как разность квадратов, используя свойство корней $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$.
$\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} - 1} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a})^2 - 1^2}$
Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ к знаменателю:
$\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} - 1)(\sqrt[6]{a} + 1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[6]{a} + 1)$. Это возможно при $a \geq 0$ и $\sqrt[3]{a} - 1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
$\frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a} - 1}$

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{m} - \sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n}}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
Преобразуем числитель: $\sqrt{m} - \sqrt[4]{mn} = (\sqrt[4]{m})^2 - \sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n} = \sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$.
Преобразуем знаменатель: $\sqrt[4]{mn} - \sqrt{n} = \sqrt[4]{m}\sqrt[4]{n} - (\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}{\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})$ при условии, что $m \neq n$.
$\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}} = \sqrt[4]{\frac{m}{n}}$

Ответ: $\sqrt[4]{\frac{m}{n}}$

3)

Чтобы сократить дробь $\frac{a - b}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$, воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим числитель в виде $a - b = (\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3$.
$\frac{(\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$ при условии, что $a \neq b$.
$\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$

4)

Чтобы сократить дробь $\frac{a\sqrt{b} - b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$, вынесем общий множитель в числителе.
$a\sqrt{b} - b\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2\sqrt{a} = \sqrt{a}\sqrt{b}(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = \sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})$.
Подставим преобразованное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$
Сократим дробь на $\sqrt{ab}$ при условии, что $a > 0$ и $b > 0$.
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$

5)

Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b}}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: $\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)$.
В знаменателе: $\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a^2b \cdot b} + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b} + 1)$.
Подставим преобразованные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)}{\sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b} + 1)}$
Сократим дробь на $(\sqrt[3]{b} + 1)$:
$\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{(\sqrt[3]{a})^2\sqrt[3]{b}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}} = \frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$

6)

Чтобы сократить дробь $\frac{3 + \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$, разделим числитель почленно на знаменатель.
$\frac{3 + \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}} = \frac{3}{\sqrt[4]{3}} + \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$
Упростим каждое слагаемое. Для первого слагаемого представим $3$ как $(\sqrt[4]{3})^4$:
$\frac{(\sqrt[4]{3})^4}{\sqrt[4]{3}} + 1 = (\sqrt[4]{3})^{4-1} + 1 = (\sqrt[4]{3})^3 + 1$
Вычислим $(\sqrt[4]{3})^3$:
$(\sqrt[4]{3})^3 = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$.
Таким образом, выражение равно $\sqrt[4]{27} + 1$.

Ответ: $\sqrt[4]{27} + 1$