Номер 12.18, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.18. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{625a^{24}};$

2) $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$, если $b \ge 0;

3) $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$, если $p \ge 0;

4) $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$, если $m \le 0, n \le 0$.

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{625a^{24}}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ (для неотрицательных $a$ и $b$).

Представим подкоренное выражение в виде произведения: $\sqrt[4]{625 \cdot a^{24}} = \sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{a^{24}}$.

Найдем корень четвертой степени из каждого множителя:

$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Для второго множителя воспользуемся свойством $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$. В нашем случае $\sqrt[4]{a^{24}} = \sqrt[4]{(a^6)^4} = |a^6|$.

Поскольку показатель степени $6$ является четным числом, выражение $a^6$ всегда будет неотрицательным ($a^6 \ge 0$) при любом действительном значении $a$. Следовательно, $|a^6| = a^6$.

Объединяем результаты: $5 \cdot a^6 = 5a^6$.

Ответ: $5a^6$.

2) Упростим выражение $\sqrt[4]{0,0001b^{20}}$ при условии $b \ge 0$.

Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt[4]{0,0001 \cdot b^{20}} = \sqrt[4]{0,0001} \cdot \sqrt[4]{b^{20}}$.

Вычислим корень из каждого множителя:

$\sqrt[4]{0,0001} = \sqrt[4]{(0,1)^4} = 0,1$.

При извлечении корня четной степени воспользуемся формулой $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[4]{b^{20}} = \sqrt[4]{(b^5)^4} = |b^5|$.

По условию задачи $b \ge 0$. Если основание степени неотрицательно, то и сама степень $b^5$ будет неотрицательной ($b^5 \ge 0$). Следовательно, модуль можно опустить: $|b^5| = b^5$.

Перемножим полученные результаты: $0,1 \cdot b^5 = 0,1b^5$.

Ответ: $0,1b^5$.

3) Упростим выражение $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}}$ при условии $p \ge 0$.

Используя свойство корня из произведения, получим: $\sqrt[10]{p^{30}q^{40}} = \sqrt[10]{p^{30}} \cdot \sqrt[10]{q^{40}}$.

Поскольку показатель корня $10$ является четным числом, применим правило $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[10]{p^{30}} = \sqrt[10]{(p^3)^{10}} = |p^3|$.

$\sqrt[10]{q^{40}} = \sqrt[10]{(q^4)^{10}} = |q^4|$.

Теперь раскроем модули с учетом условий. По условию $p \ge 0$, следовательно, $p^3 \ge 0$, и $|p^3| = p^3$.

Выражение $q^4$ всегда неотрицательно, так как $q$ возводится в четную степень. Поэтому $|q^4| = q^4$.

Итоговое выражение: $p^3 \cdot q^4 = p^3q^4$.

Ответ: $p^3q^4$.

4) Упростим выражение $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}}$ при условии $m \le 0, n \le 0$.

Применяем свойство корня из произведения: $\sqrt[12]{m^{36}n^{60}} = \sqrt[12]{m^{36}} \cdot \sqrt[12]{n^{60}}$.

Показатель корня $12$ — четное число. Используем правило $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$:

$\sqrt[12]{m^{36}} = \sqrt[12]{(m^3)^{12}} = |m^3|$.

$\sqrt[12]{n^{60}} = \sqrt[12]{(n^5)^{12}} = |n^5|$.

Теперь раскроем модули, учитывая заданные условия $m \le 0$ и $n \le 0$.

Если $m \le 0$, то $m^3 \le 0$. Модуль неположительного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|m^3| = -m^3$.

Аналогично, если $n \le 0$, то $n^5 \le 0$. Поэтому $|n^5| = -n^5$.

Перемножим полученные выражения: $(-m^3) \cdot (-n^5) = m^3n^5$.

Ответ: $m^3n^5$.