Номер 12.20, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.20. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{32a^6}$, если $a \le 0$;

2) $\sqrt[4]{-625a^5}$;

3) $\sqrt[6]{a^7b^7}$, если $a < 0, b < 0$;

4) $\sqrt[6]{a^{20}b^{19}}$, если $a > 0$.

1) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $ \sqrt[4]{32a^6} $ при условии $ a \le 0 $, необходимо разложить подкоренное выражение на множители, степени которых кратны 4.
Число 32 можно представить как $ 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2 $.
Степень переменной $ a^6 $ можно представить как $ a^4 \cdot a^2 $.
Тогда выражение принимает вид:
$ \sqrt[4]{32a^6} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^4 \cdot a^2} = \sqrt[4]{(2^4 \cdot a^4) \cdot 2a^2} = \sqrt[4]{(2a)^4 \cdot 2a^2} $
Используя свойство корня четной степени $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ (где n - четное), получаем:
$ |2a| \sqrt[4]{2a^2} $
Согласно условию, $ a \le 0 $, следовательно, выражение $ 2a $ также является неположительным ($ 2a \le 0 $). Поэтому модуль раскрывается с противоположным знаком: $ |2a| = -2a $.
Окончательный результат:
$ -2a \sqrt[4]{2a^2} $
Ответ: $ -2a \sqrt[4]{2a^2} $

2) Для выражения $ \sqrt[4]{-625a^5} $ необходимо сначала определить область допустимых значений. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений, поэтому должно выполняться условие $ -625a^5 \ge 0 $. Так как -625 — отрицательное число, это неравенство верно только если $ a^5 \le 0 $, что означает $ a \le 0 $.
Разложим подкоренное выражение на множители:
$ -625a^5 = 625 \cdot (-a^5) = 5^4 \cdot (-a)^5 $, так как $ (-a)^5 = -a^5 $.
Представим $ (-a)^5 $ как $ (-a)^4 \cdot (-a) $.
$ \sqrt[4]{-625a^5} = \sqrt[4]{5^4 \cdot (-a)^4 \cdot (-a)} = \sqrt[4]{(5(-a))^4 \cdot (-a)} $
Выносим множитель из-под знака корня:
$ |5(-a)| \sqrt[4]{-a} $
Поскольку мы установили, что $ a \le 0 $, то $ -a \ge 0 $. Значит, выражение $ 5(-a) $ неотрицательно, и его модуль равен самому выражению: $ |5(-a)| = 5(-a) = -5a $.
Итоговый результат:
$ -5a\sqrt[4]{-a} $
Ответ: $ -5a\sqrt[4]{-a} $

3) В выражении $ \sqrt[6]{a^7b^7} $ при условии $ a < 0, b < 0 $ подкоренное выражение $ a^7b^7 = (ab)^7 $. Для существования корня четной степени необходимо, чтобы $ (ab)^7 \ge 0 $, что равносильно $ ab \ge 0 $. По условию $ a < 0 $ и $ b < 0 $, их произведение $ ab $ положительно, так что выражение определено.
Представим подкоренное выражение в виде множителей со степенями, кратными 6:
$ a^7b^7 = (ab)^7 = (ab)^6 \cdot ab $
Теперь извлечем корень:
$ \sqrt[6]{(ab)^6 \cdot ab} = |ab| \sqrt[6]{ab} $
Поскольку $ a < 0 $ и $ b < 0 $, их произведение $ ab > 0 $. Следовательно, $ |ab| = ab $.
Окончательный вид выражения:
$ ab\sqrt[6]{ab} $
Ответ: $ ab\sqrt[6]{ab} $

4) В выражении $ \sqrt[6]{a^{20}b^{19}} $ при условии $ a > 0 $, подкоренное выражение $ a^{20}b^{19} $ должно быть неотрицательным. Так как $ a > 0 $, то $ a^{20} > 0 $. Следовательно, неравенство $ a^{20}b^{19} \ge 0 $ выполняется, если $ b^{19} \ge 0 $, что означает $ b \ge 0 $.
Разложим степени переменных так, чтобы выделить множители со степенями, кратными 6:
$ a^{20} = a^{18} \cdot a^2 = (a^3)^6 \cdot a^2 $
$ b^{19} = b^{18} \cdot b = (b^3)^6 \cdot b $
Подставим разложение в исходное выражение:
$ \sqrt[6]{a^{20}b^{19}} = \sqrt[6]{(a^{18} \cdot b^{18}) \cdot (a^2 \cdot b)} = \sqrt[6]{(a^3b^3)^6 \cdot a^2b} $
Выносим множитель из-под знака корня:
$ |a^3b^3| \sqrt[6]{a^2b} $
Проанализируем знак выражения в модуле. По условию $ a > 0 $ и, как мы выяснили, $ b \ge 0 $. Это означает, что $ a^3 > 0 $ и $ b^3 \ge 0 $. Их произведение $ a^3b^3 \ge 0 $, поэтому $ |a^3b^3| = a^3b^3 $.
Получаем окончательный результат:
$ a^3b^3\sqrt[6]{a^2b} $
Ответ: $ a^3b^3\sqrt[6]{a^2b} $