Номер 12.15, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.15. При каких значениях a и b выполняется равенство:

1) $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

2) $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

3) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$

1) $\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

Равенство содержит корни четной степени (корень 4-й степени). Арифметический корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений.

Для левой части равенства, $\sqrt[4]{ab}$, должно выполняться условие $ab \ge 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть одного знака, либо одно из них (или оба) равно нулю. То есть, ($a \ge 0$ и $b \ge 0$) или ($a \le 0$ и $b \le 0$).

Для правой части равенства, $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}$, должны быть определены оба корня. Для $\sqrt[4]{-a}$ должно выполняться условие $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$. Для $\sqrt[4]{-b}$ должно выполняться условие $-b \ge 0$, что эквивалентно $b \le 0$.

Чтобы все выражение имело смысл, должны выполняться все условия одновременно. Объединяя условия для левой и правой частей, получаем, что единственно возможным случаем является $a \le 0$ и $b \le 0$. При этих условиях $ab \ge 0$, поэтому все выражения определены.

Проверим, выполняется ли само равенство при $a \le 0$ и $b \le 0$. В этом случае $-a \ge 0$ и $-b \ge 0$. По свойству корня из произведения для неотрицательных чисел: $\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{ab}$.

Равенство выполняется.

Ответ: $a \le 0$, $b \le 0$.

2) $\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$

Аналогично первому пункту, все подкоренные выражения для корней 4-й степени должны быть неотрицательными.

Для левой части, $\sqrt[4]{-ab}$, должно выполняться условие $-ab \ge 0$, что эквивалентно $ab \le 0$. Это означает, что $a$ и $b$ должны быть разных знаков, либо одно из них (или оба) равно нулю.

Для правой части, $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}$, должны быть определены оба корня. Для $\sqrt[4]{a}$ должно выполняться условие $a \ge 0$. Для $\sqrt[4]{-b}$ должно выполняться условие $-b \ge 0$, то есть $b \le 0$.

Совмещая все условия, получаем систему: $ab \le 0$, $a \ge 0$, $b \le 0$. Условия $a \ge 0$ и $b \le 0$ полностью определяют область допустимых значений, так как из них автоматически следует, что $ab \le 0$.

Проверим равенство при этих условиях. Если $a \ge 0$ и $b \le 0$, то $-b \ge 0$. Используя свойство корня из произведения для неотрицательных чисел: $\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{a(-b)} = \sqrt[4]{-ab}$.

Равенство выполняется.

Ответ: $a \ge 0$, $b \le 0$.

3) $\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}$

В данном равенстве используются корни нечетной степени (корень 5-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения. Поэтому левая и правая части равенства определены при любых действительных значениях $a$ и $b$.

Проверим само равенство. Для корней нечетной степени свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$ выполняется для любых действительных чисел $x$ и $y$.

Преобразуем правую часть равенства: $\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{(-a)(-b)} = \sqrt[5]{ab}$.

Полученное выражение совпадает с левой частью равенства. Следовательно, равенство является тождеством и выполняется при любых действительных значениях $a$ и $b$.

Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.