Номер 12.17, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.17. Упростите выражение:

1) $\sqrt[8]{256k^8}$, если $k \le 0$;

2) $\sqrt[6]{c^{24}};$

3) $\sqrt[4]{81x^8y^4}$, если $y \ge 0$;

4) $-1,2x\sqrt[6]{64x^{30}}$, если $x \le 0$.

1) Упростим выражение $\sqrt[8]{256k^8}$, если $k \le 0$.

Сначала преобразуем подкоренное выражение. Число 256 можно представить как $2^8$. Тогда выражение примет вид:$\sqrt[8]{256k^8} = \sqrt[8]{2^8 k^8} = \sqrt[8]{(2k)^8}$.

Воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=4$, поэтому:$\sqrt[8]{(2k)^8} = |2k|$.

Теперь раскроем модуль, учитывая заданное условие $k \le 0$. Если $k$ — не положительное число, то и произведение $2k$ также не является положительным ($2k \le 0$).По определению модуля, $|a| = -a$, если $a \le 0$. Следовательно, $|2k| = -2k$.

Ответ: $-2k$

2) Упростим выражение $\sqrt[6]{c^{24}}$.

Представим подкоренное выражение $c^{24}$ как степень с показателем 6, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:$c^{24} = c^{4 \cdot 6} = (c^4)^6$.

Теперь подставим это в исходное выражение:$\sqrt[6]{c^{24}} = \sqrt[6]{(c^4)^6}$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$.$\sqrt[6]{(c^4)^6} = |c^4|$.

Так как показатель степени 4 является четным числом, выражение $c^4$ всегда будет неотрицательным при любом действительном значении $c$ ($c^4 \ge 0$). Модуль неотрицательного числа равен самому числу, поэтому $|c^4| = c^4$.

Ответ: $c^4$

3) Упростим выражение $\sqrt[4]{81x^8y^4}$, если $y \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение, представив каждый множитель в виде степени с показателем 4:$81 = 3^4$;$x^8 = x^{2 \cdot 4} = (x^2)^4$;$y^4$ уже в нужной форме.

Подставим эти выражения под корень:$\sqrt[4]{81x^8y^4} = \sqrt[4]{3^4(x^2)^4y^4} = \sqrt[4]{(3x^2y)^4}$.

Применим свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:$\sqrt[4]{(3x^2y)^4} = |3x^2y|$.

Раскроем модуль, анализируя знак выражения $3x^2y$:- $3$ — положительное число.- $x^2$ — неотрицательное число при любом $x$ ($x^2 \ge 0$).- По условию $y \ge 0$. Произведение неотрицательных сомножителей является неотрицательным числом, то есть $3x^2y \ge 0$. Следовательно, $|3x^2y| = 3x^2y$.

Ответ: $3x^2y$

4) Упростим выражение $-1,2x^6\sqrt[6]{64x^{30}}$, если $x \le 0$.

Сначала упростим корень $\sqrt[6]{64x^{30}}$. Для этого представим подкоренное выражение в виде степени с показателем 6:$64 = 2^6$;$x^{30} = x^{5 \cdot 6} = (x^5)^6$.

Подставим в корень:$\sqrt[6]{64x^{30}} = \sqrt[6]{2^6(x^5)^6} = \sqrt[6]{(2x^5)^6}$.

По свойству $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$ получаем:$\sqrt[6]{(2x^5)^6} = |2x^5|$.

Теперь раскроем модуль с учетом условия $x \le 0$. Поскольку $x \le 0$, а 5 — нечетная степень, то $x^5 \le 0$. Следовательно, произведение $2x^5$ также является не положительным ($2x^5 \le 0$).По определению модуля, $|2x^5| = -(2x^5) = -2x^5$.

Подставим полученный результат в исходное выражение:$-1,2x^6 \cdot (-2x^5)$.

Выполним умножение:$(-1,2) \cdot (-2) \cdot x^6 \cdot x^5 = 2,4 \cdot x^{6+5} = 2,4x^{11}$.

Ответ: $2,4x^{11}$