Номер 12.14, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.14. При каких значениях $a$ выполняется равенство:

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$;

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$;

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$;

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$ ?

1) $\sqrt[6]{a^{30}} = a^5$

Левая часть равенства преобразуется с использованием свойства корня четной степени $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$.
$\sqrt[6]{a^{30}} = \sqrt[6]{(a^5)^6} = |a^5|$.
Таким образом, исходное равенство принимает вид: $|a^5| = a^5$.
Равенство вида $|x| = x$ истинно только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно, то есть $x \ge 0$.
В нашем случае это означает, что $a^5 \ge 0$.
Неравенство $a^5 \ge 0$ выполняется при $a \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$.

2) $\sqrt[6]{a^{30}} = -a^5$

Аналогично предыдущему пункту, левая часть равна $|a^5|$.
Получаем равенство: $|a^5| = -a^5$.
Равенство вида $|x| = -x$ истинно только тогда, когда выражение под знаком модуля неположительно, то есть $x \le 0$.
В нашем случае это означает, что $a^5 \le 0$.
Неравенство $a^5 \le 0$ выполняется при $a \le 0$.
Ответ: $a \le 0$.

3) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{a})^4$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$.
Левая часть $\sqrt[4]{a^4}$ определена для любого действительного $a$.
Правая часть $(\sqrt[4]{a})^4$ определена только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $a \ge 0$.
Следовательно, ОДЗ для всего равенства: $a \ge 0$.
Теперь упростим обе части на этой области:
Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Поскольку $a \ge 0$, то $|a| = a$.
Правая часть: $(\sqrt[4]{a})^4 = a$.
Получаем тождество $a = a$, которое верно для всех $a$ из ОДЗ.
Ответ: $a \ge 0$.

4) $\sqrt[4]{a^4} = (\sqrt[4]{-a})^4$

Определим область допустимых значений.
Левая часть $\sqrt[4]{a^4}$ определена для любого действительного $a$.
Правая часть $(\sqrt[4]{-a})^4$ определена только при $-a \ge 0$, что эквивалентно $a \le 0$.
Таким образом, ОДЗ для всего равенства: $a \le 0$.
Упростим обе части на этой области:
Левая часть: $\sqrt[4]{a^4} = |a|$. Поскольку $a \le 0$, то $|a| = -a$.
Правая часть: $(\sqrt[4]{-a})^4 = -a$.
Получаем тождество $-a = -a$, которое верно для всех $a$ из ОДЗ.
Ответ: $a \le 0$.