Номер 12.19, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.19. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{-m^9}$;

2) $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$;

3) $\sqrt[4]{a^8b^{13}}$, если $a > 0$;

4) $\sqrt[6]{x^6y^7}$, если $x \neq 0$;

5) $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$;

6) $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$.

1) Для выражения $\sqrt[4]{-m^9}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четной степени. Условие $-m^9 \ge 0$ эквивалентно $m^9 \le 0$, что выполняется при $m \le 0$.
Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны 4:
$\sqrt[4]{-m^9} = \sqrt[4]{m^8 \cdot (-m)} = \sqrt[4]{(m^2)^4 \cdot (-m)}$
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{(m^2)^4} \cdot \sqrt[4]{-m} = |m^2|\sqrt[4]{-m}$
Поскольку $m^2$ всегда неотрицательно, $|m^2| = m^2$.
Таким образом, получаем $m^2\sqrt[4]{-m}$.
Ответ: $m^2\sqrt[4]{-m}$

2) Для выражения $\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $32m^{18}n^{17} \ge 0$. Так как $32 > 0$ и $m^{18} \ge 0$ для любого $m$, то условие сводится к $n^{17} \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы степени были кратны 4:
$32 = 16 \cdot 2 = 2^4 \cdot 2$
$m^{18} = m^{16} \cdot m^2 = (m^4)^4 \cdot m^2$
$n^{17} = n^{16} \cdot n = (n^4)^4 \cdot n$
$\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot m^{16} \cdot n^{16} \cdot 2m^2n} = \sqrt[4]{2^4 \cdot (m^4)^4 \cdot (n^4)^4 \cdot 2m^2n}$
Выносим множители:
$|2| \cdot |m^4| \cdot |n^4| \cdot \sqrt[4]{2m^2n} = 2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$ (поскольку $m^4 \ge 0$ и $n^4 \ge 0$).
Ответ: $2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$

3) Для выражения $\sqrt[4]{a^8b^{13}}$ при условии $a > 0$, подкоренное выражение $a^8b^{13}$ должно быть неотрицательным. Так как $a > 0$, то $a^8 > 0$. Следовательно, $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[4]{a^8b^{13}} = \sqrt[4]{a^8 \cdot b^{12} \cdot b} = \sqrt[4]{(a^2)^4 \cdot (b^3)^4 \cdot b}$
Выносим множители:
$|a^2| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{b}$
Так как $a^2 \ge 0$, то $|a^2| = a^2$. Так как $b \ge 0$, то $b^3 \ge 0$, и $|b^3| = b^3$.
Получаем $a^2b^3\sqrt[4]{b}$.
Ответ: $a^2b^3\sqrt[4]{b}$

4) Для выражения $\sqrt[6]{x^6y^7}$ при условии $x \ne 0$, подкоренное выражение $x^6y^7$ должно быть неотрицательным. Так как $x \ne 0$, то $x^6 > 0$. Следовательно, $y^7 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[6]{x^6y^7} = \sqrt[6]{x^6 \cdot y^6 \cdot y}$
Выносим множители:
$\sqrt[6]{x^6} \cdot \sqrt[6]{y^6} \cdot \sqrt[6]{y} = |x| \cdot |y| \cdot \sqrt[6]{y}$
Так как $y \ge 0$, то $|y| = y$.
Получаем $|x|y\sqrt[6]{y}$.
Ответ: $|x|y\sqrt[6]{y}$

5) Для выражения $\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}$, подкоренное выражение $a^{15}b^{15} = (ab)^{15}$ должно быть неотрицательным. Это условие выполняется, когда $ab \ge 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[4]{a^{15}b^{15}} = \sqrt[4]{a^{12}a^3 \cdot b^{12}b^3} = \sqrt[4]{(a^3)^4 (b^3)^4 \cdot a^3b^3}$
Выносим множители:
$|a^3| \cdot |b^3| \cdot \sqrt[4]{a^3b^3} = |a^3b^3|\sqrt[4]{a^3b^3}$
Поскольку $ab \ge 0$, то $(ab)^3 = a^3b^3 \ge 0$. Следовательно, $|a^3b^3| = a^3b^3$.
Получаем $a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$.
Ответ: $a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$

6) Для выражения $\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}$, подкоренное выражение $-a^{25}b^{50}$ должно быть неотрицательным. Так как $b^{50} = (b^{25})^2 \ge 0$ для любого $b$, условие сводится к $-a^{25} \ge 0$, то есть $a^{25} \le 0$, что означает $a \le 0$.
Представим подкоренное выражение:
$\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}} = \sqrt[8]{-a \cdot a^{24} \cdot b^{48} \cdot b^2} = \sqrt[8]{(a^3)^8 \cdot (b^6)^8 \cdot (-ab^2)}$
Выносим множители:
$|a^3| \cdot |b^6| \cdot \sqrt[8]{-ab^2}$
Так как $a \le 0$, то $a^3 \le 0$, и $|a^3| = -a^3$.
Так как $b^6 \ge 0$ для любого $b$, то $|b^6| = b^6$.
Получаем $(-a^3)b^6\sqrt[8]{-ab^2} = -a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$.
Ответ: $-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$