Номер 12.24, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.24. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3 \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}};$

2) $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}.$

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{\sqrt{10}-3} \cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}$, приведем оба корня к одному показателю. Наименьший общий показатель для корней 3-й и 6-й степени - это 6.
Преобразуем первый множитель, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$:
$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3} = \sqrt[3 \cdot 2]{(\sqrt{10}-3)^2} = \sqrt[6]{(\sqrt{10}-3)^2}$.
Теперь раскроем скобки под корнем, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{10}-3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt[6]{19 - 6\sqrt{10}} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}$.
Используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим выражения под одним корнем:
$\sqrt[6]{(19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10})}$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10}) = 19^2 - (6\sqrt{10})^2 = 361 - 36 \cdot 10 = 361 - 360 = 1$.
Получаем: $\sqrt[6]{1} = 1$.
Ответ: 1

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}$, сначала упростим второй множитель.
Заметим, что подкоренное выражение $6-4\sqrt{2}$ можно представить в виде полного квадрата:
$6-4\sqrt{2} = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2-\sqrt{2})^2$.
Тогда второй множитель принимает вид:
$\sqrt[4]{6-4\sqrt{2}} = \sqrt[4]{(2-\sqrt{2})^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:
$\sqrt[4]{(2-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2-\sqrt{2}}$ (поскольку $2-\sqrt{2} > 0$).
Теперь исходное выражение можно записать так:
$\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}$.
Объединим выражения под одним знаком корня:
$\sqrt{(4+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$.
Вынесем общий множитель 2 в первой скобке:
$\sqrt{2(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$.
Теперь применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках:
$\sqrt{2(2^2 - (\sqrt{2})^2)} = \sqrt{2(4 - 2)} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2