Номер 12.31, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.31. Докажите, что $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} = 4$.

Для доказательства данного тождества обозначим левую часть равенства через $x$:

$x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$

Возведем обе части этого равенства в куб. Для этого воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$. Тогда $x = a + b$.

Возводим в куб:

$x^3 = (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

Теперь вычислим по отдельности каждое слагаемое в правой части.

Сумма кубов $a^3 + b^3$:

$a^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^3 = 20 + 14\sqrt{2}$

$b^3 = (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3 = 20 - 14\sqrt{2}$

$a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 - 14\sqrt{2}) = 20 + 20 = 40$

Произведение $ab$:

$ab = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})}$

Под знаком корня находится выражение вида $(c+d)(c-d)$, которое равно $c^2-d^2$:

$ab = \sqrt[3]{20^2 - (14\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{400 - 14^2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{400 - 196 \cdot 2} = \sqrt[3]{400 - 392} = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь подставим вычисленные значения $a^3+b^3=40$ и $ab=2$ обратно в уравнение для $x^3$. Также учтем, что $a+b=x$.

$x^3 = 40 + 3 \cdot 2 \cdot x$

$x^3 = 40 + 6x$

Мы получили кубическое уравнение относительно $x$:

$x^3 - 6x - 40 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (-40). Делители числа 40: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \dots$

Проверим $x=4$:

$4^3 - 6 \cdot 4 - 40 = 64 - 24 - 40 = 40 - 40 = 0$

Таким образом, $x=4$ является корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 6x - 40$ на $(x-4)$:

$(x^3 - 6x - 40) : (x-4) = x^2 + 4x + 10$

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(x-4)(x^2 + 4x + 10) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

2) $x^2 + 4x + 10 = 0$

Найдем дискриминант второго уравнения:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Исходное выражение $x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$ является действительным числом. Значит, единственным действительным решением кубического уравнения является $x=4$.

Следовательно, мы доказали, что $\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4$ доказано.