Страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.23. Докажите, что значение выражения является целым числом:

$\frac{1}{\sqrt[3]{1^2} + \sqrt[3]{1 \cdot 2} + \sqrt[3]{2^2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2 \cdot 3} + \sqrt[3]{3^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[3]{999^2} + \sqrt[3]{999 \cdot 1000} + \sqrt[3]{1000^2}}$

Для доказательства преобразуем каждое слагаемое в сумме. Рассмотрим общий вид слагаемого для натурального числа $k$:

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{k^2} + \sqrt[3]{k(k+1)} + \sqrt[3]{(k+1)^2}} $$

Знаменатель этой дроби является неполным квадратом суммы двух выражений: $\sqrt[3]{k}$ и $\sqrt[3]{k+1}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение $(\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k})$.

$$ \frac{1 \cdot (\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k})}{(\sqrt[3]{k^2} + \sqrt[3]{k(k+1)} + \sqrt[3]{(k+1)^2}) \cdot (\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k})} = \frac{\sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k}}{(\sqrt[3]{k+1})^3 - (\sqrt[3]{k})^3} $$

Упростим знаменатель полученного выражения:

$$ (\sqrt[3]{k+1})^3 - (\sqrt[3]{k})^3 = (k+1) - k = 1 $$

Таким образом, каждое слагаемое исходной суммы можно представить в виде разности:

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{k^2} + \sqrt[3]{k(k+1)} + \sqrt[3]{(k+1)^2}} = \sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k} $$

Теперь представим всё исходное выражение как сумму таких разностей (так называемую телескопическую сумму), где $k$ пробегает значения от 1 до 999.

$$ S = (\sqrt[3]{1+1} - \sqrt[3]{1}) + (\sqrt[3]{2+1} - \sqrt[3]{2}) + \dots + (\sqrt[3]{999+1} - \sqrt[3]{999}) $$

$$ S = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{1}) + (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}) + (\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3}) + \dots + (\sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{999}) $$

При сложении все промежуточные члены взаимно уничтожаются: $\sqrt[3]{2}$ и $-\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $-\sqrt[3]{3}$, и так далее, до $\sqrt[3]{999}$ и $-\sqrt[3]{999}$. В результате остаются только первый и последний члены:

$$ S = \sqrt[3]{1000} - \sqrt[3]{1} $$

Вычислим полученное значение:

$$ S = 10 - 1 = 9 $$

Значение выражения равно 9, что является целым числом. Утверждение доказано.

Ответ: 9.

12.24. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{\sqrt{10} - 3 \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}};$

2) $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}.$

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[3]{\sqrt{10}-3} \cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}$, приведем оба корня к одному показателю. Наименьший общий показатель для корней 3-й и 6-й степени - это 6.
Преобразуем первый множитель, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$:
$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3} = \sqrt[3 \cdot 2]{(\sqrt{10}-3)^2} = \sqrt[6]{(\sqrt{10}-3)^2}$.
Теперь раскроем скобки под корнем, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{10}-3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.
Таким образом, исходное выражение можно переписать как:
$\sqrt[6]{19 - 6\sqrt{10}} \cdot \sqrt[6]{19 + 6\sqrt{10}}$.
Используя свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$, объединим выражения под одним корнем:
$\sqrt[6]{(19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10})}$.
Выражение в скобках является разностью квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(19 - 6\sqrt{10})(19 + 6\sqrt{10}) = 19^2 - (6\sqrt{10})^2 = 361 - 36 \cdot 10 = 361 - 360 = 1$.
Получаем: $\sqrt[6]{1} = 1$.
Ответ: 1

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt{2}}$, сначала упростим второй множитель.
Заметим, что подкоренное выражение $6-4\sqrt{2}$ можно представить в виде полного квадрата:
$6-4\sqrt{2} = 4 - 4\sqrt{2} + 2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2-\sqrt{2})^2$.
Тогда второй множитель принимает вид:
$\sqrt[4]{6-4\sqrt{2}} = \sqrt[4]{(2-\sqrt{2})^2}$.
Используя свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:
$\sqrt[4]{(2-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2-\sqrt{2}}$ (поскольку $2-\sqrt{2} > 0$).
Теперь исходное выражение можно записать так:
$\sqrt{4+2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2}}$.
Объединим выражения под одним знаком корня:
$\sqrt{(4+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$.
Вынесем общий множитель 2 в первой скобке:
$\sqrt{2(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}$.
Теперь применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках:
$\sqrt{2(2^2 - (\sqrt{2})^2)} = \sqrt{2(4 - 2)} = \sqrt{2 \cdot 2} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2

12.25. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$;

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$.

1) $\sqrt[6]{7-4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$

Для решения этой задачи преобразуем подкоренное выражение первого множителя, выделив полный квадрат. Мы ищем представление вида $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В выражении $7-4\sqrt{3}$ имеем $a^2+b^2=7$ и $2ab=4\sqrt{3}$, откуда $ab=2\sqrt{3}$. Методом подбора легко найти, что $a=2$ и $b=\sqrt{3}$ подходят, так как $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$.

Следовательно, $7-4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$

Упростим первый множитель, используя свойство корней $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. В нашем случае $n=3$, $m=1$, $k=2$:

$\sqrt[6]{(2-\sqrt{3})^2} = \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$

Выражение принимает вид:

$\sqrt[3]{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{3}}$

Используя свойство произведения корней $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$, объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt[3]{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$ для выражения в скобках:

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

В результате получаем:

$\sqrt[3]{1} = 1$

Ответ: $1$

2) $\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt[4]{25+4\sqrt{6}}$

Упростим второй множитель. Для этого представим подкоренное выражение $25+4\sqrt{6}$ в виде полного квадрата по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы $a^2+b^2=25$ и $2ab=4\sqrt{6}$, откуда $ab=2\sqrt{6}$. Попробуем $a=2\sqrt{6}$ и $b=1$. Проверим сумму квадратов: $a^2+b^2 = (2\sqrt{6})^2 + 1^2 = 4 \cdot 6 + 1 = 24+1=25$. Условие выполняется.

Значит, $25+4\sqrt{6} = (2\sqrt{6}+1)^2$.

Подставим это выражение во второй множитель:

$\sqrt[4]{25+4\sqrt{6}} = \sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2}$

Упростим корень, сократив показатель корня и степень подкоренного выражения на 2:

$\sqrt[4]{(2\sqrt{6}+1)^2} = \sqrt{2\sqrt{6}+1}$

Теперь исходное выражение выглядит так:

$\sqrt{2\sqrt{6}-1} \cdot \sqrt{2\sqrt{6}+1}$

Объединим множители под одним знаком квадратного корня:

$\sqrt{(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1)}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(2\sqrt{6}-1)(2\sqrt{6}+1) = (2\sqrt{6})^2 - 1^2 = 4 \cdot 6 - 1 = 24 - 1 = 23$

В результате получаем:

$\sqrt{23}$

Ответ: $\sqrt{23}$

12.26. Постройте график функции:

1) $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$;

2) $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$;

3) $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.

1)

Рассмотрим функцию $y = 2x + \sqrt[6]{x^6}$.
По определению корня четной степени, $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае степень корня $n=6$ является четной, поэтому $\sqrt[6]{x^6} = |x|$.
Таким образом, исходная функция эквивалентна функции $y = 2x + |x|$.
Для построения графика раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид: $y = 2x + x = 3x$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид: $y = 2x - x = x$.
Следовательно, мы имеем дело с кусочно-линейной функцией: $y = \begin{cases} 3x, & \text{если } x \ge 0 \\ x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$
График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат, точки $(0, 0)$.
- Для $x \ge 0$ это луч прямой $y=3x$. Он проходит через точки $(0,0)$ и, например, $(1,3)$.
- Для $x < 0$ это луч прямой $y=x$. Он проходит через точки $(0,0)$ и, например, $(-2,-2)$.
Ответ: График функции состоит из двух лучей: $y=x$ при $x < 0$ и $y=3x$ при $x \ge 0$, с общей начальной точкой в $(0,0)$.

2)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x^2} \cdot \sqrt[4]{x^2}$.
Найдем область определения функции. Выражение под корнем четной степени ($n=4$) должно быть неотрицательным. Условие $x^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$. Значит, область определения функции $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$.
Упростим данное выражение, используя свойство произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$y = \sqrt[4]{x^2 \cdot x^2} = \sqrt[4]{x^4}$.
Поскольку показатель корня $n=4$ — четное число, то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.
Таким образом, исходная функция имеет вид $y = |x|$.
График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей:
- $y=x$ для $x \ge 0$ (биссектриса I координатного угла).
- $y=-x$ для $x < 0$ (биссектриса II координатного угла).
Вершина графика находится в точке $(0,0)$.
Ответ: График функции совпадает с графиком функции $y=|x|$.

3)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[6]{x^3} \cdot \sqrt[6]{x^9}$.
Найдем область определения функции. Так как показатель корня $n=6$ является четным, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$x^3 \ge 0 \implies x \ge 0$
$x^9 \ge 0 \implies x \ge 0$
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$.
На этой области определения упростим выражение, используя свойство произведения корней:
$y = \sqrt[6]{x^3 \cdot x^9} = \sqrt[6]{x^{3+9}} = \sqrt[6]{x^{12}}$.
Далее, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ (для $a \ge 0$), получим:
$y = x^{12/6} = x^2$.
Итак, необходимо построить график функции $y = x^2$ при условии $x \ge 0$.
Этот график является правой ветвью стандартной параболы $y=x^2$. Он начинается в точке $(0,0)$ (вершина) и проходит через точки, например, $(1,1)$, $(2,4)$ и $(3,9)$.
Ответ: График функции — это правая ветвь параболы $y=x^2$, определенная для $x \ge 0$.

12.27. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x;$

2) $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3};$

3) $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}.$

1) $y = \sqrt[8]{x^8} - 2x$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Используем свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае $n=4$, поэтому $\sqrt[8]{x^8} = |x|$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $y = |x| - 2x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - 2x = -x$.
Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат и точку (1, -1). Мы строим эту прямую только для $x \ge 0$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x - 2x = -3x$.
Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат и точку (-1, 3). Мы строим эту прямую только для $x < 0$.

График исходной функции состоит из двух лучей, выходящих из точки (0, 0).

Ответ: График функции представляет собой объединение двух лучей: луча $y = -x$ при $x \ge 0$ и луча $y = -3x$ при $x < 0$, с общим началом в точке (0, 0).

2) $y = \sqrt[4]{-x} \cdot \sqrt[4]{-x^3}$

Найдем область определения функции. Так как корень четной степени (4-й), подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
$-x \ge 0 \implies x \le 0$
$-x^3 \ge 0 \implies x^3 \le 0 \implies x \le 0$
Следовательно, область определения функции $D(y) = (-\infty, 0]$.

На этой области определения преобразуем выражение, используя свойство произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$ (для $a, b \ge 0$):
$y = \sqrt[4]{(-x) \cdot (-x^3)} = \sqrt[4]{x^4}$.

Используем свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:
$y = |x|$.

Так как область определения функции $x \le 0$, то на этой области $|x| = -x$.

Итак, функция имеет вид $y = -x$ при $x \le 0$.

Графиком этой функции является луч, выходящий из точки (0, 0) и проходящий через точку (-1, 1).

Ответ: График функции — это луч $y = -x$, расположенный во второй координатной четверти, с началом в точке (0, 0).

3) $y = \frac{\sqrt[6]{x^6}}{x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Область определения $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Упростим числитель, используя свойство $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$:
$\sqrt[6]{x^6} = |x|$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = \frac{|x|}{x}$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x}{x} = 1$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{-x}{x} = -1$.

График функции состоит из двух горизонтальных лучей. Точка $x=0$ не входит в область определения, поэтому на графике в этой точке будут "выколотые" точки.

Ответ: График функции состоит из двух частей: луча $y=1$ при $x > 0$ (с выколотой точкой (0, 1)) и луча $y=-1$ при $x < 0$ (с выколотой точкой (0, -1)).

12.28. Упростите выражение:

1) $\left( \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} - 1} - \frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt[3]{x} + \sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x} - 1}$

2) $\left( \frac{\sqrt[4]{a^3} - \sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} - \sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b} \right) \cdot \left( \sqrt[4]{\frac{a}{b}} + 1 \right)$

3) $\frac{\sqrt[3]{2a + 2\sqrt{a^2 - 1}}}{\sqrt[3]{\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a + 1}}} + \frac{\sqrt{a + 1}}{\sqrt{a - 1}} + 2}$

1) Для упрощения выражения введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходное выражение:
$(\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{y^2-1}) \cdot \frac{y^2+y}{y-1}$
Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $y^2-1 = (y-1)(y+1)$:
$\frac{y+1}{y-1} - \frac{4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{(y+1)^2 - 4y}{(y-1)(y+1)} = \frac{y^2+2y+1 - 4y}{y^2-1} = \frac{y^2-2y+1}{y^2-1}$
Числитель является полным квадратом $(y-1)^2$, а знаменатель — разностью квадратов $(y-1)(y+1)$. Сократим дробь:
$\frac{(y-1)^2}{(y-1)(y+1)} = \frac{y-1}{y+1}$
Теперь упростим второй множитель:
$\frac{y^2+y}{y-1} = \frac{y(y+1)}{y-1}$
Перемножим полученные упрощенные выражения:
$\frac{y-1}{y+1} \cdot \frac{y(y+1)}{y-1}$
Сокращаем одинаковые множители $(y-1)$ и $(y+1)$, в результате чего остается $y$.
Теперь выполним обратную замену $y = \sqrt[6]{x}$.
Ответ: $\sqrt[6]{x}$

2) Для упрощения введем замены: пусть $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = \sqrt[4]{b}$. Тогда $\sqrt{a} = x^2$ и $\sqrt{b} = y^2$.
Выражение примет вид:
$(\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} - x - y) \cdot (\frac{x}{y}+1)$
Упростим первую скобку. Разложим числитель и знаменатель дроби по формулам разности кубов и разности квадратов:
$\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{x^2+xy+y^2}{x+y} - (x+y) = \frac{x^2+xy+y^2 - (x+y)^2}{x+y} = \frac{x^2+xy+y^2 - (x^2+2xy+y^2)}{x+y}$
$= \frac{x^2+xy+y^2-x^2-2xy-y^2}{x+y} = \frac{-xy}{x+y}$
Упростим вторую скобку:
$\frac{x}{y}+1 = \frac{x+y}{y}$
Перемножим результаты:
$\frac{-xy}{x+y} \cdot \frac{x+y}{y}$
Сократим общие множители $(x+y)$ и $y$:
$-x$
Сделаем обратную замену $x = \sqrt[4]{a}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{a}$

3) Рассмотрим знаменатель дроби. Упростим выражение под корнем третьей степени:
$\sqrt{\frac{a-1}{a+1}} + \sqrt{\frac{a+1}{a-1}} + 2 = \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} + \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} + 2$
Приведем первые два слагаемых к общему знаменателю $\sqrt{a+1}\sqrt{a-1} = \sqrt{a^2-1}$:
$\frac{(\sqrt{a-1})^2 + (\sqrt{a+1})^2}{\sqrt{a^2-1}} + 2 = \frac{(a-1)+(a+1)}{\sqrt{a^2-1}} + 2 = \frac{2a}{\sqrt{a^2-1}} + 2$
Теперь приведем к общему знаменателю с двойкой:
$\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}$
Теперь подставим это выражение обратно в знаменатель исходной дроби:
$\frac{\sqrt[3]{2a+2\sqrt{a^2-1}}}{\sqrt[3]{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}}}$
Воспользуемся свойством корня $\frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}} = \sqrt[n]{\frac{A}{B}}$:
$\sqrt[3]{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt{a^2-1}}}}$
Упростим выражение под кубическим корнем, разделив числитель на знаменатель (умножив на перевернутую дробь):
$\sqrt[3]{(2a+2\sqrt{a^2-1}) \cdot \frac{\sqrt{a^2-1}}{2a+2\sqrt{a^2-1}}}$
Сократим одинаковые множители $(2a+2\sqrt{a^2-1})$:
$\sqrt[3]{\sqrt{a^2-1}}$
Используя свойство корней $\sqrt[n]{\sqrt[m]{A}} = \sqrt[nm]{A}$, получаем:
$\sqrt[6]{a^2-1}$
Ответ: $\sqrt[6]{a^2-1}$

12.29. Докажите тождество:

1) $(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1} - \frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1} = \frac{\sqrt[6]{x}+1}{x};$

2) $\frac{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}} = \sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b};$

3) $\frac{\sqrt[3]{m+4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{m-4\sqrt{m-4}}+2}{\sqrt[3]{m-4\sqrt{m-4}}} \cdot \frac{m-4\sqrt{m-4}}{m-8} = 1.$

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для удобства введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Тогда $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2 = y^2$ и $\sqrt[3]{x^2} = (\sqrt[6]{x})^4 = y^4$.

Запишем левую часть с новой переменной:

$\left( \frac{1}{\sqrt[6]{x} + 1} - \frac{\sqrt[6]{x} - 1}{\sqrt[3]{x}} \right) : \frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[6]{x} + 1} = \left( \frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} \right) : \frac{y^4}{y^2 + 2y + 1}$

Выполним преобразования по шагам:

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $y^2(y+1)$:

$\frac{1}{y + 1} - \frac{y - 1}{y^2} = \frac{1 \cdot y^2 - (y-1)(y+1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - (y^2 - 1)}{y^2(y+1)} = \frac{y^2 - y^2 + 1}{y^2(y+1)} = \frac{1}{y^2(y+1)}$

2. Упростим делитель. Заметим, что знаменатель является полным квадратом $(y+1)^2$:

$\frac{y^4}{y^2 + 2y + 1} = \frac{y^4}{(y+1)^2}$

3. Выполним деление, умножив первое выражение на обратное ко второму:

$\frac{1}{y^2(y+1)} : \frac{y^4}{(y+1)^2} = \frac{1}{y^2(y+1)} \cdot \frac{(y+1)^2}{y^4} = \frac{y+1}{y^2 \cdot y^4} = \frac{y+1}{y^6}$

4. Сделаем обратную замену. Так как $y = \sqrt[6]{x}$, то $y^6 = (\sqrt[6]{x})^6 = x$:

$\frac{y+1}{y^6} = \frac{\sqrt[6]{x} + 1}{x}$

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Для удобства введем замены: пусть $A = \sqrt[3]{a}$ и $B = \sqrt[3]{b}$. Тогда $a = A^3$, $b = B^3$, $\sqrt[3]{a^2} = A^2$, $\sqrt[3]{b^2} = B^2$, $\sqrt[6]{a} = \sqrt{A}$, $\sqrt[6]{b} = \sqrt{B}$.

Перепишем левую часть тождества с новыми переменными. Обозначим ее за $L$:

$L = \frac{\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{b^2}} + \frac{\sqrt[3]{ab^2} - \sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2} - 2\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}} = \frac{\frac{A^3+B^3}{A^2 - B^2} + \frac{AB^2 - A^2B}{A^2 - 2AB + B^2}}{\sqrt{A} - \sqrt{B}}$

1. Упростим числитель большой дроби. Сначала преобразуем каждое слагаемое в нем, используя формулы сокращенного умножения:

Первое слагаемое: $\frac{A^3+B^3}{A^2 - B^2} = \frac{(A+B)(A^2 - AB + B^2)}{(A-B)(A+B)} = \frac{A^2 - AB + B^2}{A-B}$

Второе слагаемое: $\frac{AB^2 - A^2B}{A^2 - 2AB + B^2} = \frac{-AB(A-B)}{(A-B)^2} = -\frac{AB}{A-B}$

2. Сложим полученные дроби:

$\frac{A^2 - AB + B^2}{A-B} - \frac{AB}{A-B} = \frac{A^2 - AB + B^2 - AB}{A-B} = \frac{A^2 - 2AB + B^2}{A-B} = \frac{(A-B)^2}{A-B} = A-B$

3. Теперь все выражение $L$ принимает вид:

$L = \frac{A-B}{\sqrt{A} - \sqrt{B}}$

4. Разложим числитель по формуле разности квадратов, учитывая, что $A = (\sqrt{A})^2$ и $B = (\sqrt{B})^2$:

$L = \frac{(\sqrt{A})^2 - (\sqrt{B})^2}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B})}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \sqrt{A} + \sqrt{B}$

5. Выполним обратную замену:

$\sqrt{A} + \sqrt{B} = \sqrt{\sqrt[3]{a}} + \sqrt{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Введем замену: пусть $y = \sqrt{m-4}$. Отсюда $y^2 = m-4$ и $m = y^2+4$. Область допустимых значений переменной $m$ определяется условиями $m-4 \ge 0$ (подкоренное выражение неотрицательно) и знаменатели не равны нулю, что приводит к $m \ne 8$. Итак, $m \ge 4, m \ne 8$.

Левая часть тождества: $L = \frac{\sqrt[3]{m + 4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}+2}}{\sqrt[3]{m - 4\sqrt{m-4}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{m-4}-2}} \cdot \frac{m - 4\sqrt{m-4}}{m-8}$

1. Преобразуем выражения под корнями с помощью введенной замены:

$m + 4\sqrt{m-4} = (y^2+4) + 4y = y^2+4y+4 = (y+2)^2$

$m - 4\sqrt{m-4} = (y^2+4) - 4y = y^2-4y+4 = (y-2)^2$

Также: $\sqrt{m-4}+2 = y+2$ и $\sqrt{m-4}-2 = y-2$.

2. Подставим эти выражения в первую дробь и упростим ее, используя свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\frac{\sqrt[3]{(y+2)^2} \cdot \sqrt[3]{y+2}}{\sqrt[3]{(y-2)^2} \cdot \sqrt[3]{y-2}} = \frac{\sqrt[3]{(y+2)^2 \cdot (y+2)}}{\sqrt[3]{(y-2)^2 \cdot (y-2)}} = \frac{\sqrt[3]{(y+2)^3}}{\sqrt[3]{(y-2)^3}} = \frac{y+2}{y-2}$

3. Преобразуем вторую дробь с помощью замены:

$\frac{m - 4\sqrt{m-4}}{m-8} = \frac{(y-2)^2}{(y^2+4)-8} = \frac{(y-2)^2}{y^2-4} = \frac{(y-2)^2}{(y-2)(y+2)} = \frac{y-2}{y+2}$

4. Перемножим упрощенные дроби:

$L = \left(\frac{y+2}{y-2}\right) \cdot \left(\frac{y-2}{y+2}\right) = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

12.30. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

1) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.

1) Обозначим данное выражение через $x$:
$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$
Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 + 3\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \cdot (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$
Упростим правую часть. Выражение в последней скобке равно $x$.
$x^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) + 3\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})} \cdot x$
$x^3 = 14 + 3\sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} \cdot x$
$x^3 = 14 + 3\sqrt[3]{49 - 50} \cdot x$
$x^3 = 14 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3x$
Мы получили кубическое уравнение: $x^3 + 3x - 14 = 0$.
Найдем его рациональные корни, если они есть. Согласно теореме о рациональных корнях, они могут быть среди делителей свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.
Проверим $x=2$:
$2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.
Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:
$x^3 + 3x - 14 = (x-2)(x^2+2x+7) = 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x+7=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.
Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2. Число 2 является рациональным, что и требовалось доказать.
Ответ: 2.

2) Обозначим данное выражение через $x$:
$x = \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$
Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$:
$x^3 = (\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}})^3 - (\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})^3 - 3\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10} \cdot (\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})$
Упростим правую часть. Выражение в последней скобке равно $x$.
$x^3 = (10+6\sqrt{3}) - (6\sqrt{3}-10) - 3\sqrt[3]{(10+6\sqrt{3})(6\sqrt{3}-10)} \cdot x$
$x^3 = 10+6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}+10 - 3\sqrt[3]{(6\sqrt{3})^2 - 10^2} \cdot x$
$x^3 = 20 - 3\sqrt[3]{108 - 100} \cdot x$
$x^3 = 20 - 3\sqrt[3]{8} \cdot x$
$x^3 = 20 - 3 \cdot 2 \cdot x$
$x^3 = 20 - 6x$
Мы получили кубическое уравнение: $x^3 + 6x - 20 = 0$.
Найдем его рациональные корни, если они есть. Согласно теореме о рациональных корнях, они могут быть среди делителей свободного члена (-20): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.
Проверим $x=2$:
$2^3 + 6 \cdot 2 - 20 = 8 + 12 - 20 = 0$.
Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 6x - 20$ на $(x-2)$:
$x^3 + 6x - 20 = (x-2)(x^2+2x+10) = 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x+10=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.
Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2. Число 2 является рациональным, что и требовалось доказать.
Ответ: 2.

12.31. Докажите, что $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20-14\sqrt{2}} = 4$.

Для доказательства данного тождества обозначим левую часть равенства через $x$:

$x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$

Возведем обе части этого равенства в куб. Для этого воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

В нашем случае, пусть $a = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}}$ и $b = \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$. Тогда $x = a + b$.

Возводим в куб:

$x^3 = (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$

Теперь вычислим по отдельности каждое слагаемое в правой части.

Сумма кубов $a^3 + b^3$:

$a^3 = (\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}})^3 = 20 + 14\sqrt{2}$

$b^3 = (\sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}})^3 = 20 - 14\sqrt{2}$

$a^3 + b^3 = (20 + 14\sqrt{2}) + (20 - 14\sqrt{2}) = 20 + 20 = 40$

Произведение $ab$:

$ab = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = \sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})}$

Под знаком корня находится выражение вида $(c+d)(c-d)$, которое равно $c^2-d^2$:

$ab = \sqrt[3]{20^2 - (14\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{400 - 14^2 \cdot (\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{400 - 196 \cdot 2} = \sqrt[3]{400 - 392} = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь подставим вычисленные значения $a^3+b^3=40$ и $ab=2$ обратно в уравнение для $x^3$. Также учтем, что $a+b=x$.

$x^3 = 40 + 3 \cdot 2 \cdot x$

$x^3 = 40 + 6x$

Мы получили кубическое уравнение относительно $x$:

$x^3 - 6x - 40 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Если уравнение имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена (-40). Делители числа 40: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \dots$

Проверим $x=4$:

$4^3 - 6 \cdot 4 - 40 = 64 - 24 - 40 = 40 - 40 = 0$

Таким образом, $x=4$ является корнем уравнения. Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 - 6x - 40$ на $(x-4)$:

$(x^3 - 6x - 40) : (x-4) = x^2 + 4x + 10$

Следовательно, уравнение можно переписать в виде:

$(x-4)(x^2 + 4x + 10) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

2) $x^2 + 4x + 10 = 0$

Найдем дискриминант второго уравнения:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 16 - 40 = -24$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Исходное выражение $x = \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}}$ является действительным числом. Значит, единственным действительным решением кубического уравнения является $x=4$.

Следовательно, мы доказали, что $\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = 4$ доказано.

12.32. Упростите выражение

$(\sqrt[32]{2} + 1)(\sqrt[16]{2} + 1)(\sqrt[8]{2} + 1)(\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt{2} + 1).$

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом замены переменной и формулой разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Пусть $x = \sqrt[32]{2}$.

Тогда остальные множители, содержащие корень, можно выразить через $x$:
$\sqrt[16]{2} = (\sqrt[32]{2})^2 = x^2$
$\sqrt[8]{2} = (\sqrt[32]{2})^4 = x^4$
$\sqrt[4]{2} = (\sqrt[32]{2})^8 = x^8$
$\sqrt{2} = (\sqrt[32]{2})^{16} = x^{16}$

Исходное выражение, обозначим его $A$, можно переписать в виде:

$A = (x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)$.

Это известная конструкция. Чтобы ее упростить, умножим и разделим выражение на $(x - 1)$. Это возможно, так как $x = \sqrt[32]{2} \neq 1$, а значит $x - 1 \neq 0$.

$A = \frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^{16} + 1)}{x - 1}$.

Теперь последовательно применим формулу разности квадратов к числителю:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$.

Затем, результат умножаем на следующий множитель:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

Продолжая этот процесс "сворачивания" выражения, получаем:

$(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$.

$(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$.

И, наконец:

$(x^{16} - 1)(x^{16} + 1) = (x^{16})^2 - 1^2 = x^{32} - 1$.

Таким образом, весь числитель дроби равен $x^{32} - 1$.

Выражение для $A$ принимает вид:

$A = \frac{x^{32} - 1}{x - 1}$.

Теперь вернемся к исходной переменной. Мы ввели замену $x = \sqrt[32]{2}$, следовательно $x^{32} = (\sqrt[32]{2})^{32} = 2$.

Подставим это значение в выражение для $A$:

$A = \frac{2 - 1}{\sqrt[32]{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[32]{2} - 1}$.

12.33. Упростите выражение $(\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)...(\sqrt{a} + 1)$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом домножения на недостающий множитель, чтобы последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.

Обозначим исходное выражение через $P$. Заметим, что показатели корней представляют собой степени двойки: $64=2^6, 32=2^5, ..., 2=2^1$. Полное выражение выглядит так:
$P = (\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)(\sqrt[8]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} + 1)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a \ge 0$ и $a \neq 1$.
В этом случае выражение $\sqrt[64]{a} - 1$ не равно нулю. Мы можем домножить и разделить исходное выражение на $\sqrt[64]{a} - 1$:

$P = \frac{(\sqrt[64]{a} - 1)(\sqrt[64]{a} + 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)(\sqrt[8]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt[64]{a} - 1}$

Теперь последовательно упростим числитель. Начнем с первых двух множителей:
$(\sqrt[64]{a} - 1)(\sqrt[64]{a} + 1) = (\sqrt[64]{a})^2 - 1^2 = \sqrt[32]{a} - 1$.

Теперь числитель принимает вид $(\sqrt[32]{a} - 1)(\sqrt[32]{a} + 1)(\sqrt[16]{a} + 1)...$ и так далее. Продолжая применять формулу разности квадратов, получаем:
$(\sqrt[32]{a} - 1)(\sqrt[32]{a} + 1) = \sqrt[16]{a} - 1$
$(\sqrt[16]{a} - 1)(\sqrt[16]{a} + 1) = \sqrt[8]{a} - 1$
$(\sqrt[8]{a} - 1)(\sqrt[8]{a} + 1) = \sqrt[4]{a} - 1$
$(\sqrt[4]{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1) = \sqrt{a} - 1$
$(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1) = a - 1$.

Таким образом, весь числитель сворачивается в выражение $a - 1$. Следовательно, для $a \neq 1$ исходное выражение равно:

$P = \frac{a - 1}{\sqrt[64]{a} - 1}$.

Случай 2: $a = 1$.
В этом случае мы не можем делить на $\sqrt[64]{a} - 1$, так как это выражение равно нулю. Вместо этого подставим значение $a=1$ непосредственно в исходное выражение:

$P = (\sqrt[64]{1} + 1)(\sqrt[32]{1} + 1)(\sqrt[16]{1} + 1)(\sqrt[8]{1} + 1)(\sqrt[4]{1} + 1)(\sqrt{1} + 1)$
$P = (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6 = 64$.

Объединяя оба случая, получаем окончательное решение.

Ответ: $\begin{cases} \frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}, & \text{если } a \ge 0, a \neq 1 \\ 64, & \text{если } a = 1 \end{cases}$