Номер 12.30, страница 100 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.30. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

1) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$;

2) $\sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$.

1) Обозначим данное выражение через $x$:
$x = \sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$
Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$x^3 = (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}})^3 + (\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})^3 + 3\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} \cdot \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}} \cdot (\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$
Упростим правую часть. Выражение в последней скобке равно $x$.
$x^3 = (7+5\sqrt{2}) + (7-5\sqrt{2}) + 3\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})} \cdot x$
$x^3 = 14 + 3\sqrt[3]{7^2 - (5\sqrt{2})^2} \cdot x$
$x^3 = 14 + 3\sqrt[3]{49 - 50} \cdot x$
$x^3 = 14 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3x$
Мы получили кубическое уравнение: $x^3 + 3x - 14 = 0$.
Найдем его рациональные корни, если они есть. Согласно теореме о рациональных корнях, они могут быть среди делителей свободного члена (-14): $\pm1, \pm2, \pm7, \pm14$.
Проверим $x=2$:
$2^3 + 3 \cdot 2 - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.
Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 3x - 14$ на $(x-2)$:
$x^3 + 3x - 14 = (x-2)(x^2+2x+7) = 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x+7=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 - 28 = -24$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.
Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2. Число 2 является рациональным, что и требовалось доказать.
Ответ: 2.

2) Обозначим данное выражение через $x$:
$x = \sqrt[3]{6\sqrt{3}+10} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10}$
Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a-b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a-b)$:
$x^3 = (\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}})^3 - (\sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})^3 - 3\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10} \cdot (\sqrt[3]{10+6\sqrt{3}} - \sqrt[3]{6\sqrt{3}-10})$
Упростим правую часть. Выражение в последней скобке равно $x$.
$x^3 = (10+6\sqrt{3}) - (6\sqrt{3}-10) - 3\sqrt[3]{(10+6\sqrt{3})(6\sqrt{3}-10)} \cdot x$
$x^3 = 10+6\sqrt{3} - 6\sqrt{3}+10 - 3\sqrt[3]{(6\sqrt{3})^2 - 10^2} \cdot x$
$x^3 = 20 - 3\sqrt[3]{108 - 100} \cdot x$
$x^3 = 20 - 3\sqrt[3]{8} \cdot x$
$x^3 = 20 - 3 \cdot 2 \cdot x$
$x^3 = 20 - 6x$
Мы получили кубическое уравнение: $x^3 + 6x - 20 = 0$.
Найдем его рациональные корни, если они есть. Согласно теореме о рациональных корнях, они могут быть среди делителей свободного члена (-20): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.
Проверим $x=2$:
$2^3 + 6 \cdot 2 - 20 = 8 + 12 - 20 = 0$.
Значит, $x=2$ является корнем уравнения. Разделим многочлен $x^3 + 6x - 20$ на $(x-2)$:
$x^3 + 6x - 20 = (x-2)(x^2+2x+10) = 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2+2x+10=0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4 - 40 = -36$.
Так как $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.
Следовательно, единственным действительным корнем кубического уравнения является $x=2$.
Так как исходное выражение является действительным числом, его значение равно 2. Число 2 является рациональным, что и требовалось доказать.
Ответ: 2.