gdz.top
Номер 12.35, страница 101 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 2. Степенная функция. Параграф 12. Свойства корня n-й степени - номер 12.35, страница 101.
№12.34
№12.35 (с. 101)
Условие. №12.35 (с. 101)
12.35. Докажите, что число $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является иррациональным.
Решение. №12.35 (с. 101)
Доказательство проведем методом от противного.
Предположим, что число $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде дроби $x = \frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ – целые числа, и $q \neq 0$.
Возведем обе части равенства $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$x^3 = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})^3$
$x^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + (\sqrt[3]{5})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$
$x^3 = 2 + 5 + 3 \sqrt[3]{10} (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$
Заметим, что выражение в скобках равно нашему исходному числу $x$. Заменим $(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5})$ на $x$:
$x^3 = 7 + 3x \sqrt[3]{10}$
Теперь выразим из этого уравнения $\sqrt[3]{10}$. Так как $x = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} > 0$, то $x \neq 0$.
$x^3 - 7 = 3x \sqrt[3]{10}$
$\sqrt[3]{10} = \frac{x^3 - 7}{3x}$
Проанализируем полученное равенство.
В левой части стоит число $\sqrt[3]{10}$. Это число иррационально, так как 10 не является точным кубом целого числа.
В правой части стоит выражение $\frac{x^3 - 7}{3x}$. Согласно нашему первоначальному предположению, $x$ – рациональное число. Результат сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, если $x$ рационально, то и $x^3$, $x^3 - 7$, $3x$ и вся дробь $\frac{x^3 - 7}{3x}$ также являются рациональными числами.
Таким образом, мы пришли к противоречию: иррациональное число ($\sqrt[3]{10}$) равно рациональному числу ($\frac{x^3 - 7}{3x}$), что невозможно.
Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что число $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$ является рациональным, неверно. Значит, это число иррациональное.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 12.35 расположенного на странице 101 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.35 (с. 101), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.